ماکس بورن فلسفۀ طبیعی علّت و تصادف

 Max Born

The Natural Philosophy of Cause and Chance

ماکس بورن
فلسفۀ طبیعی علّت و تصادف

 

درس‌های
وین‌فلیت
در کالج سنت‌مری ماگدالن آکسفورد
نیم‌سال هیلاری
1948

 

San Francisco, USA, 2021

PDF (eBook)

https://drive.google.com/file/d/1YTtGnU_YHw0ejq4dBcm3ZxcdmP18GxiP/view?usp=sharing

ISBN- 978-1-7331083-6-2

مجموعه کتاب‌هایی در «تاریخ و فلسفۀ علم»

1- ورنر هایزنبرگ: فیزیک و فلسفه
2- ورنر هایزنبرگ: جزء و کلّ
3-نیلس بور: فیزیک اتمی و شناخت بشری
4-ژاک مونو: تصادف و ضرورت
5- فون وایتسکر: اهمیّت علم
6- ورنر هایزنبرگ: فهم از طبیعت در فیزیک امروزی
7- نیلس بور: فیزیک اتمی و شناخت بشری (نسخۀ فون مه‌ین)
8- در فلسفه و دین (مجموعه‌ای از نوشته‌های مهم در فلسفه و دین)
9- نیلس بور: فیزیک اتمی و شناخت بشری، جلد اوّل
10- ورنر هایزنبرگ: آن‌سوی مرزها (چاپ اوّل)
11- ورنر هایزنبرگ: آن‌سوی مرزها (چاپ دوم)
12- نیلس بور: نوشته‌های فلسفی، جلد اوّل، نظریّۀ اتمی و اصول تشریح طبیعت
13- ماکس بورن: فلسفۀ طبیعی علّت و تصادف

 

Najafizadeh.org Series in Philosophy and History of Science in Persian

Werner Heisenberg: Physik und Philosophie
Werner Heisenberg: der Teil und das Ganze
Niels Bohr: Atomphysik und menschliche Erkenntnis, Band II
Jacques Monod: Le hasard et la nécessité
C.F. von Weizsäcker: Die Tragweite der Wissenschaft
Werner Heisenberg: Das Naturbild der heutigen Physik
Niels Bohr: Atomphysik und menschliche Erkenntnis (mit einem Vorwort zur Neuausgabe von Karl von Meyenn)
On the Philosophy and Religion (a collection of important lectures on philosophy and religion)
Niels Bohr: Atomphysik und menschliche Erkenntnis, Band I
Werner Heisenberg: Schritte über Grenzen (First Edition) Gesammelte Reden und Aufsätze
Werner Heisenberg: Schritte über Grenzen (Second Edition)
Gesammelte Reden und Aufsätze
Niels Bohr: The Philosophical Writings, Volume 1, Atomic Theory and the Description of Nature
Max Born: Natural Philosophy of Cause and Chance
The series editor would like to thank Nicholas S. Thompson, Professor Emeritus of Clark University, in Worcester, MA, USA, Professor Petr Viscor of Alexander Dubček University of Trenčín, Slovakia, for consultations during the development of this series.
Title:
Natural Philosophy of Cause and Chance, Oxford, Clarendon Press, 1949
Copyright © 2021 Najafizadeh.org, San Francisco, USA, 2021, All rights reserved‌‌
ISBN- 978-1-7331083-6-2

یادداشت نویسندۀ فارسی

سال‌ها در این فکر بودم تا اثری از ماکس بورن را به فارسی برگردانم، زیرا تاآنجاکه می‌دانم چیزی از این فیزیک‌دان بزرگ به فارسی برگردانده نشده. به کتاب بورن هم از سال‌ها پیش دلبسته بودم، تا اینکه مجالی یافتم کار را روی آن ادامه دهم.
ازقضا چند سال پیش با مجموعه «کتاب‌هایی در تاریخ و فلسفۀ علم» آشنا شدم که «بنیاد نجفی‌زاده» فراهم آورده بود و من هم برای اوّلین بار آن‌ها را می‌دیدم. در آن زمان شاید هنوز پنج، شش کتاب بیشتر از کتاب‌های این «بنیاد» فهرست نشده بود، ازآن‌جمله برخی از آثار نیلس بور. خوشحال از دیدن کتاب‌ها، و آراستگی رسم‌الخط و برگردان آن‌ها به زبان فارسی، بر آن شدم تا کتاب ماکس بورن را به فارسی برگردانم تا شاید روزی آن را به همین «بنیاد» بدهم، که خوشبختانه آثارش همه‌جا موجود است. نزدیک‌ یک‌سال روی این نوشته کار کردم و سرانجام چند ماه پیش آن را به «بنیاد» پیشنهاد کردم، که خوشبختانه آن را پذیرفت و درعین‌حال ضوابط سفت‌وسخت خود را از هر جهت به من گوشزد کرد.
اکنون که این چند کلمه را می‌نویسم می‌دانم که نوشته‌ام به‌زودی‌ در دسترس علاقه‌مندان خواهد بود.
دربارۀ خود کتاب و مطالب بسیار دشوارش باید در جای دیگری، و مسلماً در نشریّه‌ای تخصّصی به‌طور مشروح بنویسم؛ زیرا می‌دانم که در اینجا مجالی برای این کار نیست.
دهم دی‌ماه 1399
شهین فرامرزی

پیش‌گفتار
پیش‌نویسی از این درس‌ها که پیش از تدریس نگارش شده بود، میزان چشم‌گیری از مطالب فنّی و ریاضیات نسبت به متن کنونی را دربر داشت. باتوجّه‌به حضور مستمعینی، که تصوّر می‌شد شاید فیزیک‌دانان و ریاضی‌دانان در میان آن‌ها در اقلیت باشند، ناگزیر برنامۀ کاری خود را تغییر داده، کوشیدم درس‌های ساده‌تری را ارائه دهم. هرچند این کار براساس برنامۀ کالج ماگدالن آکسفورد دشوار نبود، صورت‌بندی نهایی آن برای چاپ کار ساده‌ای نبود. این کار هم پسند من نبود که استدلال‌‌های دقیق ریاضی را با ملغمه‌‌ای از سبک ادبی، با ذکر مرجع‌ها، با توسّل به رازورزی، که بیشتر دانشمندان فیلسوف‌مآب و به‌اصطلاح مردم‌گرا به کار می‌برند جایگزین کنم. ازاین‌رو، این فکر برایم پیش آمد که ریاضیات را به ضمیمه‌ای مشروح، که حاوی اشاراتی به منابع کتاب‌شناسی باشد، منتقل کنم. امّا گستردگی فراوان ضمیمه مرا واداشت نقل‌قول‌ها را به تألیفات اخیر محدود کنم که در کتاب‌های درسی موجود نیست. برخی از این اضافات شامل پژوهش‌های منتشر‌نشدۀ مکتب من است که بیشتر آن‌ها را همکارم دکتر ه. س. گرین انجام داده است. در درون خود متن هم از تقسیم‌‌بندی اوّلیه به هفت درس صرف‌نظر کردم و آن‌ها را با ترتیب طبیعی‌تری در ده فصل جایگزین کردم.
در اینجا باید از دکتر گرین بابت کمک خستگی‌ناپذیرش در بازخوانی متون، نقدها، و تصحیح نوشته‌‌ام، و همچنین کار بر روی پیش‌نویس‌های ضمیمه و خواندن نسخه‌های مطبعی تشکّر کنم. همچنین وام‌دار آقای لویس التون‌ هستم که نه تنها کار نسخه‌خوانی را انجام داد، بلکه فهرست نمایه‌ها را به‌دقّت آماده کرد. به‌علاوه باید از آلبرت اینشتین سپاسگزار باشم که اجازه داد بخش‌هایی از دو نامه‌اش را که به من نوشته است، در این کتاب منتشر کنم.
صمیمانه‌ترین امتنان را از رئیس و اعضای کالج ماگدالن دارم که به من فرصت دادند این درس‌ها، و تحریر آن‌ها را برای چاپ آماده کنم.
همچنین در اینجا می‌خواهم از انتشارات آکسفورد برای چاپ عالی این کتاب و تمایل آن‌ها به رعایت همۀ خواسته‌هایم تشکّر کنم.
ماکس بورن

فهرست مطالب
یادداشت نویسندۀ فارسی iii
پیش‌گفتار v
نشانه‌گذاری 9
فصل اوّل 11
درآمد 11
فصل دوم 15
علیّت و جبرگرایی 15
فصل سوم 21
نمونه: 21
ستاره‌شناسی و مکانیک ذرّه 21
فصل چهارم 29
هم‌جواری 29
مکانیک واسطه‌های پیوسته 29
میدان‌های الکترومغناطیسی 35
نسبیّت و نظریّۀ میدان گرانش 40
فصل پنجم 47
تقدّم: ترمودینامیک 47
فصل ششم 65
تصادف 65
نظریّۀ جنبشی گازها 65
مکانیک آماری 79
نظریّۀ جنبشی فراگیر 86
فصل هفتم 95
تصادف و تقدّم 95
فصل هشتم 99
مادّه 99
جرم، انرژی و تابش 99
فصل نهم 121
تصادف 121
مکانیک کوانتومی 121
فیزیک علّت‌ناگرا 131
نظریّۀ جنبشی کوانتومی ماده 141
فصل دهم 155
پیامدهای متافیزیکی 155
فهرست راهنما 163
واژهنامۀ انگلیسی به فارسی 169
ضمیمه (نسخۀ انگلیسی) 185

نشانه‌گذاری
معرفی کمیّت‌های برداری با قلم کلاروندون در چاپ، اکنون بسیار رایج شده. بنابراین در سراسر این درس‌ها از این قلم استفاده شده است. برای پرداختن به تانسورهای دکارتی از نشانه‌گذاری چاپمن و مایلن، که در فصل نخست کتاب چاپمن و کوولینگ، توضیحش ذیل عنوان نظریّۀ ریاضی گازهای ناهمگون (سی.یو.پی.، 1939) آمده است، استفاده شده؛ برای این کار تانسورها با قلم سن‌سریف (بی‌دندانه) چاپ شد.
نمونه‌های زیر به‌درستی نشان می‌دهد چگونه معادله‌های تانسوری و برداری به نشانه‌های هماهنگی ترجمه شده است:

a=b→a_k=b_k □( )(k=1,2,3)
a⋅b=∑_(k=1)^3 a_k b_k
a=b→a_kl=b_kl □( )(k,l=1,2,3)
a⋅b=c→∑_(l=1)^8 a_kl b_l=c_k □( )(k=1,2,3)
a⋅b⋅c=∑_(k,l=1)^3 a_k b_kl c_l
∂a/∂x=grad⁡a=b→∂a/(∂x_k )=(grad⁡a)_k=b_k □( )(k=1,2,3)
∂/∂x⋅a=div⁡a=∑_(k=1)^3 (∂a_k)/(∂x_k )
∂/∂x⋅a=div⁡a=b→∑_(l=1)^3 (∂a_lk)/(∂x_l )=(div⁡a)_k=b_k □( )(k=1,2,3)
∂/∂x∧a=curl⁡a=b→(∂a_3)/(∂x_2 )-(∂a_2)/(∂x_3 )=(curl⁡a)_1=b_1,□( ) etc.

فصل اوّل
درآمد
مفاهیم علّت و تصادف که می‌خواهم در این درس‌ها بررسی کنم، به‌طورخاص مفاهیم فیزیکی محسوب نمی‌شود، بلکه معنا و کاربردی بسیار وسیع‌تر دارد. از این معانی و کاربردها کم‌وبیش به‌طور مبهم در زندگی روزمره استفاده می‌شود؛ این مفاهیم نه تنها در همۀ رشته‌های علوم، بلکه در تاریخ، روانشناسی، فلسفه و خداشناسی هم ظاهر می‌شود؛ همه‌جا هم با اندکی تفاوت در معنا. از توان من بسیار به دور است که بتوانم گزارشی دربارۀ همۀ کاربردها بدهم و یا بکوشم تحلیلی از معنای دقیق هریک از کلمات علّت و تصادف را ارائه دهم. امّا روشن است که تصورّ مشترکی باید در استفاده از این مفاهیم وجود داشته باشد. البتّه علّت بیانگر فکر ضرورت دربارۀ رابطۀ موجود میان رویدادهاست، درحالی‌که تصادف معنایی درست مقابل آن دارد و به معنای اتّفاق است. به نظر می‌رسد طبیعت و همچنین امور بشری دستخوش ضرورت و تصادف باشد. بااین‌همه حتّی تصادف به طور کامل دل‌به‌خواه نیست، زیرا نه از تصادف، که در نظریّۀ احتمالات بیان شده، و نه از رابطۀ علّت و معلول نمی‌توان برای پیش‌بینی آینده به‌طور دقیق استفاده کرد، چون نیاز به دانستن کامل شرایط مربوط به حال و گذشته دارد که در اختیار ما نیست. این‌طور به نظر می‌رسد که این گرهی ‌نومیدکننده در فکر باشد. درعمل چنانچه در نوشته‌های این موضوع بنگرید، راه‌حلّ رضایت‌بخشی و توافق کلی‌ای نخواهید یافت. تنها در فیزیک است که تلاشی نظام‌مند برای استفاده از مفاهیم علّت و تصادف به شیوه‌ای بی‌ابهام صورت گرفته است. فیزیک‌دانان به مفاهیم خود از راه تفسیر آزمایش‌ها می‌رسند. این شیوه را شاید به‌درستی بتوان فلسفۀ طبیعی نامید، عبارتی که هنوز در دانشگاه‌های اسکاتلند در فیزیک به کار می‌رود. در این جهت کوشش خواهم کرد تا مفاهیم علّت و تصادف را در این درس‌ها به‌کار برم. ولی می‌کوشم تا با نگاه فیلسوف به آن بپردازم و امید دارم
بتوان هرگاه که مفاهیم علّت و تصادف به کار می‌رود، از نتایج به‌دست آمده، استفاده کرد. می‌دانم که این کوشش پسند برخی فیلسوفان نیست، که تأکید دارند علم تنها وجهی محدود دارد و چندان اهمیّت زیادی هم برای ذهن بشر ندارد. درست است که بسیاری از فیلسوفان ذهن فلسفی ندارند و درنتیجه بیشتر از خود ورزیدگی و هوشمندی نشان داده‌اند و کمتر خردورزی. نیاز چندانی به بازکردن موضوع در اینجا نیست. کاربردهای عملی علم به ما امکان زندگی‌ غنی‌تر و پربارتری را داده، و درعین‌حال امکان تخریب و ویرانگری دامنه‌دارتری را به وجود آورده است. اندیشمندان باید پیش از آغاز فعالیّت‌های خود به پیامدهای آن اندیشیده باشند. به‌نظر می‌رسد دانشمندان در چنین کاری شکست خورده‌اند و تنها به‌تازگی به مسئولیّت‌های خود در برابر جامعه آگاهی یافته‌اند. آنها وقار مردان عمل را به دست آوردند، امّا فیلسوفانی بی‌اعتبار شدند. بااین‌همه تاریخ نشان می‌دهد علم اهمیّت زیادی در سیر فکری بشر داشته است. علم با گردآوری داده‌ها نه تنها مواد خام را برای فلسفه فراهم آورده، بلکه مفاهیم بنیادین در پرداختن به آن‌ها را هم متحول کرده. کافی است نظام کوپرنیکی عالم و دینامیک نیوتونی را، که از دل آن بیرون آمده است، ذکر کنیم. این دو، مفاهیم فضا، زمان، ماده، نیرو و حرکت را به‌وجود آورند که زمان درازی پیش روی ما ماند و تأثیرات زیادی بر بسیاری از نظام‌های فلسفی بر جای گذاشت. می‌گویند متافیزیک هر دوره‌ای فرزند فیزیک دوره پیش از خود است. اگر این حرف درست باشد، ما فیزیک‌دانان ناگزیریم افکارمان را به زبانی که کمتر فنّی باشد بیان کنیم. این درست هدف درس‌هایی است که در پی می‌آید، هرچند در حوزه‌ای محدود، امّا مهم. کوشیده‌ام تا از ریاضیات کاملاً صرف‌نظر کنم، امّا در این راه کامیاب نبودم؛ و منظورم این است که ناشیگری‌های تحمّل‌نشدنی‌ای در بیان و ابهام‌هایی به آن‌ها راه یافته است. شاید راه برون‌رفت دیگر این بود تا تمام ریاضیات عالی را به روش‌های مقدّماتی به سیاق اقلیدسی تقلیل می‌دادیم، که نمونۀ مشهور آن کتاب اصول
نیوتون است. امّا این کار شاید بر ناشیگری ما بیشتر می‌افزود و از جذابیّت زیبایی‌شناختی کار می‌کاست. عقیده دارم دویست‌سال پس از نیوتون باید پیشرفتی در هضم ریاضیات در کسانی به‌وجود آمده باشد، که به فلسفۀ طبیعی علاقه‌مندند. پس از زبان و صورت‌بندی ساده در اختلاطی متناسب استفاده کردم، هرچند در اینجا به اثبات معادله‌ها نپرداخته‌ام (در ضمیمه گردآوری شده است).
در این راه امیدوارم بتوانم توضیح دهم چگونه فیزیک ‌می‌تواند این مسئله را کمی روشن‌تر کند که نه تنها برای شناخت انتزاعی مهم است، بلکه برای رفتار بشر نیز چنین خصلتی دارد. عقیدۀ بی‌قیدوشرط به علّیت الزاماً به این فکر می‌انجامد که جهان ماشینی خودکار است و ما تنها دندۀ کوچکی از آنیم. این به معنای جبریّت مادّه‌گرای است، و بیشتر به جبرگرایی دینی می‌ماند که فرقه‌های متفاوت پذیرفته‌ و بر این عقید‌ه رفته‌‌اند که خداوند از همان سرآغاز بر اعمال انسان‌ها حکم می‌راند. نمی‌توانم دشواری‌های بیشتری را برشمرم که این فکر از دیدگاه مسئولیت اخلاقی به آن‌ها می‌انجامد. مفهوم قضای الهی با آزادی اراده در ستیز است، درست به‌همان نحو که با فرض زنجیرۀ بی‌پایان از علّت‌های طبیعی. از‌سوی دیگر عقیدۀ بی‌قیدوشرط به تصادف ممکن نیست، زیرا نمی‌توان انکار کرد که در این جهان قانونمندی‌های بسیاری وجود دارد، و درنتیجه در بهترین صورت می‌تواند «تصادف‌ قانونمند» وجود داشته باشد. پس باید قوانینی از تصادف را پیش خود فرض کنیم که پیدایی قوانین طبیعی یا قوانین حاکم بر رفتار انسانی را پذیرا باشد. چنین فلسفه‌ای فضایی گسترده برای اختیار و حتّی برای اعمال خودخواستۀ خدایان و شیاطین فراهم می‌کند. درواقع به نظر می‌رسد همۀ ادیان کهن چندخدای‌گرای بر چنین فهمی از طبیعت استوار است: چیزهایی به‌صورت تصادفی روی می‌دهد، مگر زمانی که روحی با هدفی در آن مداخله کند. امروزه ما چنین فلسفۀ دیوگرایی را رد می کنیم، امّا تصادف را در حوزۀ علوم دقیق وارد می‌دانیم. فلسفۀ ما از این نظر دوگراست؛ طبیعت از ملغمه‌ای از قوانین علّت و تصادف پیروی می‌کند. چگونه چنین چیزی ممکن است؟ آیا در اینجا تضادی منطقی وجود دارد؟ آیا می‌توان چنین ملغمۀ فکری‌ای را در نظامی منسجم ریخت به‌طوری که همۀ پدیده‌ها را بتوان در آن، به‌گونه‌ای تشریح یا تبیین کرد که دیگر نیازی به چیزی دیگر نداشته باشد؟ درصورتی‌که موضوع تصادف مطرح باشد، چه انتظاری از این تبیین داریم؟ چه اصول متافیزیکی در آن دخیل است که دیگر نمی‌تواند به چیزی فروکاسته شود؟ آیا در این نظام جایی برای اختیار یا مداخلۀ خدایی وجود دارد؟ این سؤال هست و سؤالات بسیار دیگری را هم می‌توان پرسید. در اینجا می‌کوشم تا به برخی از آن‌ها از دیدگاه فیزیک‌دان و به برخی دیگر ازسر عقیدۀ فلسفی خود پاسخ دهم که چیزی بیش از پاسخ عقل سلیم نیست که حاصل چیزها‌یی است که اینجاو‌آنجا گاه‌وبی‌گاه خوانده‌ و اندکی تلطیف کرده‌ام. این گزاره که مکرّر به زبان می‌آید که فیزیک امروزی از علّیت دست کشیده است، کاملاً بی‌اساس است. این درست است که فیزیک امروزی بسیاری از افکار سنّتی را تغییر داده یا آن‌ها راکنار گذاشته، امّا درصورتی‌که از جست‌وجوی علّت پدیده‌ها چشم‌پوشی کرده باشد، دیگر نمی‌تواند علم باشد. پس لازم دیدم تا جنبه‌های مختلف مفاهیم اساسی را با ارائۀ تعریف اصطلاحاتی که در زبان عادی پذیرفته شده بیان کنم. به کمک این مفاهیم به ارزیابی فکر فیزیکی خواهم پرداخت، و اینجا‌و‌آنجا روی نکات خاصّی درنگ خواهم کرد که به آن‌ها دل‌بسته‌ام و می‌کوشم نتایج آن‌ها را در فلسفه به‌طور کلّی به کار گیرم.

فصل دوم
علیّت و جبرگرایی
مفهوم علیّت با مفهوم جبرگرایی به‌طور تنگاتنگ مرتبط است، هرچند این ارتباط به نظر من یکسان نیست. به‌علاوه، از علیّت با تفاوت‌های معنایی مختلفی استفاده می‌شود. در اینجا می‌کوشم این مفاهیم را از یکدیگر جدا کنم و سرانجام آن‌ها را با تعاریفی جمع‌بندی کنم.
رابطۀ علت‌ و معلول عموماً به دو صورت به کار می‌رود. من این دو را با نمونه‌هایی نشان خواهم داد که برخی برگرفته از زندگی روزمرّه است و برخی دیگر از علم. به این گزاره‌ها توجّه کنید:
«زیادی جمعیّت دلیل فقر در هندوستان است.»
«ثبات سیاست انگلستان به‌دلیل وجود نهاد سلطنت است.»
«شرایط اقتصادی سبب جنگ می‌شود.»
«روی کرۀ ماه حیات نیست، زیرا ماه جوّی ندارد که اکسیژن داشته باشد.»
«واکنش‌های شیمیایی به‌سبب قرابت مولکول‌هاست.»
می‌خواهم توجّه شما را به این امر جلب کنم که این جمله‌ها به روابطی بی‌زمان اشاره دارد. همۀ این جملات می‌گویند: چیزی یا وضعیتّی مانند الف سبب وضعیّت دیگر ب می‌شود که درظاهر به این معنی که وجود ب بستگی به وضعیت الف دارد یا اگر الف تغییر کند یا نباشد، ب هم تغییر می‌کند یا نخواهد بود. این گزاره‌ها را با گزاره‌های زیر مقایسه کنید:
«محصول بد، علّت گرسنگی سال 1946 هندوستان بود.»
«سقوط هیتلر به‌علّت شکست ارتش او بود.»
«جنگ انفصال آمریکا به‌علّت وضعیّت اقتصادی در ایالاتی بود که برده‌دار بودند.»
«حیات توانست روی زمین گسترش یابد، زیرا جوّ اکسیژن بر روی آن به‌وجود آمد.»
«تخریب هیروشیما به‌علّت انفجار بمب اتمی بود.»
در این جمله‌ها رویداد معیّن الف را، علّت رویداد ب می‌دانیم و هر دو رویداد کم‌و‌بیش در فضا و زمان مشخّصی است. گمان می‌کنم این دو صورت مختلف رابطۀ علّت ‌و معلول هر دو کاملاً درست است. عامل مشترک، فکر وابستگی است که نیاز به تفسیر دارد. این فکر وابستگی، اگر دوچیز مرتبط باهم خود مفهوم باشد، موضوع ذهن باشد، مانند دو عدد یا دو مجموعۀ اعداد، دراین‌صورت بسیار روشن است. این وابستگی همان چیزی است که ریاضی‌دان آن را با کلمۀ «تابع» بیان می‌کند. این وابستگی منطقی به تحلیل بیشتر نیاز ندارد (حتّی گمان می‌کنم که بیش از این هم نمی‌تواند تحلیل شود.). امّا علیّت به وابستگی منطقی اشاره ندارد، بلکه به‌معنای وابستگی اشیای طبیعت به یکدیگر است. این مسئله که این به چه معناست، اصلاً ساده نیست. طالع‌بینان مدعی‌اند که سرنوشت بشر به صور فلکی وابسته است. دانشمندان چنین گزاره‌ای را رد می‌کنند – امّا چرا؟ زیرا علم تنها روابط وابستگی را وقتی می‌پذیرد که بتوانند آن‌ها را با مشاهده و تجربه تأیید کند، و ما هم عقیده داریم طالع‌بینی از این آزمون سربلند بیرون نیامده است. علم بر معیار وابستگی اصرار دارد، یعنی بر تکرار مشاهده یا آزمون: یا شی‌ء الف و ب به پدیده اشاره دارد، که به دفعات در طبیعت حادث می‌شود و آن‌قدر ازنظر وجه مورد نظر ما به هم شبیه است که می‌توان آن‌ها را یکسان دانست، یا می‌توان آن را از راه تجربه به‌طور تصنّعی ایجاد کرد.
مشاهده و آزمون دو ابزاری است که به‌طور منظّم از آن‌ها چیزهایی می‌آموزیم. گاهی نابغه‌ای آن‌ها را تا‌ مرز هنر بالا می‌برد. در اینجا قواعدی را باید رعایت کرد: جداکردن نظام مورد نظر، محدودکردن عوامل متغیّر، تغییر شرایط تا اینکه وابستگی به یک عامل آشکار شود؛ در بسیاری از موارد هم اندازه‌گیری‌های دقیق و مقایسۀ آن‌ها با یکدیگر لازم است.

پرداختن به این صورت‌ها به‌خودی‌خود یک فن است، که در آن مفاهیم تصادف و احتمال اهمیّتی تعیین‌کننده دارد – به این مسئله در مباحث بعدی به‌طور مشروح خواهیم پرداخت. پس به نظر می‌رسد علم راهی روشمند برای یافتن روابط علّی دارد، بی‌آنکه نیاز به ارجاع به اصلی متافیزیکی داشته باشد. امّا این هم نومید‌کننده است، زیرا هیچ مشاهده و آزمونی، هرچند گسترده، نمی‌تواند بیش از شماری معیّن از تکرار باشد، و حکم قانون – ب وابسته به الف است – همیشه از تجربه فراتر می رود. امّا این نوع گزاره‌ها همه‌جا وهمۀ زمان‌ها، و گاهی به‌اختصار ابراز می‌شود. فیلسوفان آن را استقرا از راه استنتاج می خوانند و بسیاری از آنان نظریّه‌های پرمحتوایی از آن ساخته‌اند. من وارد بحث دربارۀ این نظرپردازی‌ها نمی‌شوم. امّا باید این را هم روشن کنم چرا اصل استقرا را متمایز از علًیت می‌دانم. استقرا به فرد امکان می‌دهد تا شماری از مشاهدات را به قانونی کلّی تعمیم دهد: شب پس از روز و روز پس از شب می‌آید و یا در بهار برگ سبز بر درختان می‌روید؛ این‌ها همه استقراست، امّا نه رابطۀ علّی اینجا وجود دارد، و نه گزارۀ وابستگی. شیوۀ فکر استقرایی کلّی‌تر از فکر علّی است و در زندگی روزمره آن را مسلّم می‌دانیم، و در علم هم در رشته‌های تشریحی و تجربی به‌کار می‌رود. امّا چون زندگی روزمرّه معیار معیّنی بر درستی استقرا ندارد، و کم‌و‌بیش بر شهود استوار است، علم برای خود نظام‌نامه‌ و قواعدی در پیشۀ خود بر کاربرد فراهم آورد. این نظام‌نامه با توفیق کاملاً یار بود و گمان می‌کنم تنها این است که توجیه‌کنندۀ آن است – درست مانند قواعد موسیقی کلاسیک که کف‌زدن تماشاچیان حاضر در سالنی پر، توجیه‌گر آن است. به‌ نظر می‌رسد که علم و هنر تفاوت چندانی باهم ندارد. قوانین حوزۀ حقیقت و زیبایی را استادانی بنا نهاده‌اند که شاهکارهای ابدی به‌وجود می‌آورند.
ارزش‌های مطلق، آرمان‌هایی است که هرگز دست‌یافتنی نیست.گمان می‌کنم کوشش‌های جمعی بشر از راه‌های پسندیده به آرمان‌هایی نزدیک شده است. مسلّماً من درنگ نمی‌کنم تا کسی را نادان بدانم که آموزه‌های تجربه را رد می‌کند، زیرا هیچ دلیل منطقی در آن نمی‌بیند، یا از قوانین پیشۀ علم بی‌خبر است و یا آن‌ها را اصلاً قبول ندارد. چنین افراد فوق‌منطقی را گه‌گاه در میان ریاضی‌دانان محض، دین‌شناسان وفیلسوفان، در کنار جمعیّت‌های گستردۀ مردم بی‌سواد و یا کسانی که قوانین علم را رد می‌کنند، می‌بینید که در میان آن‌ها جمعیّت‌های مخالف با دریافت واکسن و یا معتقد به طالع‌بینی هم وجود دارد. استدلال‌آوردن برای آن‌‌ها کاری بیهوده است؛ نمیتوانم آن‌ها را وادار به پذیرفتن همان معیارهای استنتاج درست کنم که خود به آن‌ها عقیده دارم: نظام‌نامۀ قوانین علمی؛ زیرا استدلال منطقی برای این کار وجود ندارد؛ و این، کار عقیده است. تمایل خودم به این سوست که استقرا را اصلی متافیزیکی بدانم، یعنی چیزی فراتر از فیزیک.
پس از این گشت‌وگذار، باز می‌گردیم به علًیت و دو راه کاربرد آن، یکی چون رابطۀ بی‌زمان وابستگی، دیگری وابستگی رویدادی معیّن در زمان و فضا به دیگری (به ضمیمۀ 1 نگاه کنید). گمان می‌کنم که معنای انتزاعی، بی‌زمان علیّت، معنای اساسی آن باشد. کاملاً آشکار است آن که از این عبارت در موردی خاص استفاده می‌کند، اشاره ضمنی به انتزاع نمی‌کند. برای مثال: این حکم که محصول بد علّت گرسنگی در هندوستان شد، تنها زمانی معنا پیدا می‌کند که فرد در ذهن خود بداند محصول بد به‌طور کلّی سبب گرسنگی می‌شود. من این کار را به شما واگذار می‌کنم تا خودتان آن را با نمونه‌های دیگری که داده‌ام یا با نمونه‌هایی که خود ابداع می‌کنید تأیید کنید. چنانچه اشاره به قانون کلی را نادیده بگیرید، ارتباط میان دو رویداد پی‌درپی خصلت علیّت را از دست می‌دهد، هرچند‌ شاید تصوّر نظم کامل را داشته باشد، مانند توالی شب و روز. نمونۀ دیگری برنامۀ زمان حرکت قطار است. شما می‌توانید به کمک آن زمان رسیدن قطار ساعت ده را از مبداء وی‌ورلی به ایستگاه کینگ‌کراس پیش‌بینی کنید، امّا چندان به‌آسانی نمی‌‌توانید بگویید برنامۀ حرکت قطار علّت این رویداد را آشکار می‌کند. به‌عبارت دیگر، قانون برنامۀ حرکت قطارها جبرگراست. می‌توان رویدادهای آتی را با آن پیش‌بینی کرد، امّا پرسش دربارۀ «چرایی» آن بی‌معنی خواهد بود.
درنتیجه، گمان می‌کنم نباید علیّت و جبرگرایی را یکسان دانست. جبرگرایی به قوانینی باز می‌گردد که به ما امکان می‌دهد با آگاهی از رویداد الف، وقوع رویداد ب (و برعکس) را پیش‌بینی کند، امّا بدون این فکر که ارتباط فیزیکی بی‌زمانی (و بی‌مکانی) بین همۀ چیزهایی از نوع الف و چیزهایی از نوع ب وجود دارد. ترجیح می‌دهم از عبارت «علیّت» برای این وابستگی بی‌زمان استفاده کنم. این درست همان چیزی است که هدف تجربه‌گرایان و مشاهده‌گرایان است، هنگامی که پدیده‌ای خاص را به علّت خاص دیگری با تغییر نظام‌مند شرایط ردیابی می‌کنند. استفادۀ دیگر از این کلمه برای دو رویداد که یکی در پی‌درپی دیگری می‌آید، درواقع آن‌قدر معمول است که نمی‌توان آن را کنار گذاشت. بنابراین پیشنهادم این است که باید آن را به کار برد، امّا درعین‌حال باید برخی از «صفت‌های» مرتبط به زمان و مکان را به آن افزود. امّا همیشه فرض این است که علّت پیش از معلول می‌آید، پیشنهاد می‌کنم این را اصل تقّدم بنامیم. به‌علاوه، به‌طور کلّی اکراه داریم فرض کنیم چیزی اثری در مکانی داشته باشد، بی‌آنکه خود در آنجا باشد یا به آن چیز دیگری متصّل نباشد؛ من این را اصل هم‌جواری می‌نامم.
اکنون می‌کوشم تا این ملاحظات را در چند تعریف خلاصه کنم.
جبرگرایی فرضش این است که رویدادها در زمان‌های مختلف آن‌طور با قوانین مرتبط‌اند که می‌توان وضعیّت‌های ناشناخته (گذشته یا آینده) را پیش‌بینی کرد.
با این صورت‌بندی، تقدیر دینی حذف می‌شود، زیرا می‌پندارد صحیفۀ تقدیر تنها در برابر خداوند گشوده است.
علیّت فرضش این است که قوانینی وجود دارد که بر اساس آنها تمامیّت ب از دسته‌ای خاص وابسته به وقوع تمامیّت الف از دستۀ دیگری است، و در آن کلمۀ «تمامیّت» می‌تواند به معنای شیئی فیزیکی، پدیده‌ای، وضعیّتی، یا رویدادی باشد. الف راعلّت، و ب را معلول می‌نامیم.
چنانچه علیّت به رویداد منفردی اشاره کند، باید به صفت‌های ذیل علیّت توجّه کرد:
تقّدم فرضش این است که علّت باید مقدّم، و یا دست‌کم هم‌زمان با معلول باشد.
هم‌جواری فرضش این است که علت و معلول باید در فضا با یکدیگر و یا با زنجیره‌ای از اشیاء میانی در تماس باشد.

فصل سوم
نمونه:
ستاره‌شناسی و مکانیک ذرّه
اکنون این تعاریف را با بررسی سیر علم فیزیک نشان می‌دهم؛ امّا منتظر بحث تاریخی به‌معنای معمول هم نباشید. اینکه چگونه مردی بزرگ به کشفیّات خود دست می‌یابد، یا اصلاً خودش در این باره چه می‌گوید، چیزی است که علاقه‌ای به دانستن آن ندارم. در اینجا می‌کوشم وضع علم را تحلیل کنم و با ذهنی امروزی دربارۀ زمان کشف آن داوری کنم، و آن‌ها را با تعاریفی که به دست دادم تشریح کنم.
حال با کهن‌ترین علم، یعنی ستاره‌شناسی، آغاز می‌کنیم. فرضیّۀ حرکت‌های فلکی پیش از نیوتون، نمونه‌ای بسیار خوب از تشریح ریاضی و جبرگراست، هرچند علّی نیست. این امر دربارۀ نظام بطلمیوسی و نظام کوپرنیکی، و همچنین پالایش‌های کپلری کاملاً صدق می‌کند. بطلمیوس حرکت سیّارات را با گرتۀ حرکت‌شناختی، دایره‌ و فلک تدویر نشان داد، درحالی‌که بر روی هم می‌چرخند و بر کرۀ آسمان ثابت‌اند. کوپرنیک این نظر را تغییر داد و خورشید را در مرکز حرکت دورانی سیّارات قرار داد، ولی کپلر دایره‌ را با بیضی جایگزین کرد. نمی‌خواهم اهمیّت گامی را که کوپرنیک در فهم از جهان برداشته، ناچیز بپندارم. تنها می‌خواهم به آن از دیدگاهی نظر بیفکنم که به مسئلۀ مورد بحث ما مرتبط است. نه بطلمیوس و کوپرنیک، و نه کپلر علّتی برای رفتار سیّارات ذکر نکردند، مگر علّت نهایی را، یعنی ارادۀ آفریدگار. آنچه به زبان ریاضیات امروزی چنین است:
X1 = f1 (t) x2 = f2 (t)
که برای مختصّات همۀ ذرّات که وابسته به زمان است، صدق می‌کند. کوپرنیک به درستی مدّعی بود که توابع او، و یا دقیق‌تر بگوییم ساختارهای هندسی او، بسیار ساده‌تر از بطلمیوس است، امّا از ذکر تبعات کیهان‌شناختی آن سر باز زد. این پرسش را زمانی دراز پس از مرگ او، عمدتاً گالیله مطرح کرد که با مشاهدات خود با تلسکوپ نشان داد که در کرۀ مشتری و اقمار آن، تکراری از نظام کوپرنیکی در مقیاسی کوچک‌تر وجود دارد.
کیهان‌شناسی دکارت را می‌توان اوّلین تلاش برای ایجاد قوانین علّی درمورد مدار سیّارات دانست که حرکت چرخابی پیچیدۀ نوعی اثیر را تصوّر می‌کرد. گفتنی است این ساختار از هم‌جواری پیروی می‌کند. امّا این ساختار به دلیل نبود خصلت کلّی پیشرفت علمی ناکام ماند، زیرا بر استنتاج منطقی از واقعیّات استوار نبود. در آن زمان نه مجموعه‌ای از قواعد وجود داشت، نه نوشته‌های دکارت خود چنین چیزی را ارائه می‌کرد. اصول پذیرفته‌شده‌ای که امروز وجود دارد، به‌طور ضمنی در کارهای گالیله و نیوتون وجود دارد، که با کشفیّات خود در فیزیک و ستاره‌شناسی آن‌ها را نشان دادند – مانند قواعدی که هایدن برای سونات وضع کرد و قطعه‌های دلپذیر موسیقی را با آن‌ها در این سبک تدوین نمود.
کار گالیله نه تنها ازنظر زمانی، بلکه در نظم منطقی هم بر کار نیوتون تقدّم دارد؛ زیرا گالیله با اشیاء زمینی بر مبنای قوانین تکرار و تغییر شرایط تجربه می‌کرد، درحالی‌که مواد نجومی نیوتون تنها بر مشاهده استوار و محدود بود. گالیله حرکت جسم درحال سقوط را مطالعه می‌کرد، و شرایطی را که حرکت به آن وابسته بود. نتایج او را می‌توان در فرمول مشهور مختصّۀ عمودی جسمی کوچک و یا «ذرّه» چون تابعی از زمان خلاصه کرد:
z=-1/2 gt^2 (3.1)
که در آن g ثابت است، نه تنها مستقل از زمان، بلکه مستقل از جسم درحال سقوط. تنها چیزی که مقدار g به آن وابسته است جسمی است که حرکت به‌سوی آن انجام می‌شود، یعنی زمین – نتیجه‌گیری‌ای که آن‌قدر مسلم می‌نماید که نیاز به صورت‌بندی ندارد؛ زیرا اگر حرکت را با دست خود بررسی کنیم، وزن را با فشاری که مستقیم به‌سوی زمین بر آن وارد می‌شود حس
می‌کنیم. پس ثابت g را باید خاصیّتی از زمین دانست و نه از جسم درحال فرود.
با استفاده از حساب نیوتونی (که در آن مشتق زمان با نقطه نشان داده شده) و برای هر سه مختصّه به کار رفته، معادله‌های زیر به دست می آید:
(3.2) x ̈=0,( y) ̈=0,z ̈=-g
که مسیر ذرات به سوی زمین را نشان می‌دهد، صرف‌نظر از موقعیّت اوّلیّه و شتاب آن‌ها.
این معادله‌ها شمار بی‌پایانی از مسیر و حرکت را در حکمی ساده خلاصه می‌کند:
برخی از خواص حرکت در همۀ دسته، مستقل از موردی منفرد، یکسان است، و درنتیجه تنها وابسته به چیز دیگری است که در آن دخیل است، یعنی زمین. پس این خصوصیت، به عبارتی شتاب عمودی، باید «به‌سبب زمین باشد»، یا «زمین سبب آن است»، یا «نیرویی است که زمین اعمال می‌کند.»
کلمۀ «نیرو» نشانگر ویژگی‌ای از مفهوم کلّی علّت است، به‌عبارتی علّتی اندازه‌پذیر و بیان‌شدنی با رقم. به‌جز این ظرافت‌ها، کار گالیله درست موردی از علیّت معمول در جهت تشریح من است.
این قانون (3.2) پای زمان را به‌میان می‌آورد، زیرا «اثر» نیرو، شتاب است، یعنی میزان تغییر سرعت در زمان. این نتیجۀ کنونی مشاهده و اندازه‌گیری است، و هیچ ریشۀ متافیزیکی‌ای ندارد. نتیجۀ این واقعیّت خصوصیت جبرگرای قانون (3.2) است: اگر موقعیّت و سرعت ذره‌ای را در زمانی بدانیم، معادله‌ها موقعیّت و سرعت آن را در زمان دیگری معیّن می‌کند.
درنتیجه، در هر زمان دیگری، در گذشته یا آینده همین‌طور است. این نشان می‌دهد که قانون گالیله با فرض تقدّم سازوار نیست: وضعیّت اولیّۀ مشخّصی را نمی‌توان علّت وضعیّت بعدی دانست، زیرا رابطۀ بین آن دو کاملاً متقارن است؛ یکی تعیین‌کنندۀ دیگری است. این امر به‌نحوی از نزدیک به مفهوم زمان مربوط است که گالیله آن را به‌کار برد و نیوتون به وضوح تشریحش کرد.
قانون گالیله هم فرض هم‌جواری را نقض می‌کند، زیرا کنش زمین بر ذرّۀ درحال حرکت به‌نظر به تماسی نیاز ندارد. به این مسئله درارتباط با تعمیم نیوتونی بیشتر می‌پردازیم.
نیوتون شیوۀ گالیله را در تشریح حرکات فلکی به‌کار برد. مصالحی که او از آن‌ها در استنتاج خود استفاده کرد، مسلّماً ناچیز بود؛ زیرا در آن زمان تنها شش سیّاره (ازجمله زمین) و چند قمر آن‌ها را می‌شناختند. در اینجا می‌گویم «استنتاج»، زیرا کپلر استقرا لازم را پیشتر، یعنی زمانی که قوانین سه‌گانه حرکت درمورد سیّارات را به‌طور عام اعلام کرد، انجام داده بود. دو قانون نخست، که مرتبط به شکل بیضوی مدار و افزایش منطقه‌ای که بردار شعاعی می‌پیماید، به‌طور عمده بر مشاهدات تیکو براهه از مرّیخ استوار بود، یعنی بر سیّاره‌ای منفرد. این قوانین که با استنتاج کلی به هر سیاره‌ای تعمیم داده شد، به عقیدۀ نیوتون معادل این حکم است که شتاب همواره در جهت خورشید است و به‌طور معکوس با مرّبع فاصلۀ r ا از خورشید متغیّر است، μr^(-2)، جایی که μ یک ثابت است و می‌تواند از سیّاره‌ای به سیّارۀ دیگر متفاوت باشد. امّا قانون سوم رابطۀ علّی با خورشید را آشکار می‌کند. این رابطه می‌گوید که نسبت مربّع دورۀ تناوب و مکعّب محور اصلی در همۀ سیّارات یکسان است – و این نتیجه از داده‌های شش سیّارۀ شناخته‌شده به‌دست آمده است. همان‌گونه که نیوتون نشان داد (بنگرید به ضمیمۀ دو)، ثابت μ برای همه سیّارات یکسان است. امّا در مورد گالیله، این تنها می‌تواند وابسته به جسم منفرد دیگری باشد که در آنجا دخیل است، یعنی خورشید. دراین‌صورت این تفسیر این‌گونه به‌دست می‌آید که شتاب مرکزگرای μr^(-2) «به خورشید مرتبط است»، یا «خورشید سبب آن است»، یا «نیرویی است که خورشید اعمال می‌کند».
کرۀ ماه و سایر اقمار سیّارات در آن زمان مصالحی برای استنتاج بود که راه را برای تعمیم جاذبۀ همۀ اجسام به‌طرف یکدیگر گشود. شگفت‌انگیز‌ترین گام، که معاصران نیوتون به‌درستی آن را تحسین کردند، قراردادن اجسام زمینی در قانونی بود که منشأیی آسمانی داشت. این درواقع فکری است که با داستان ساختگی سقوط سیب نمایانده می‌شود: در نظر نیوتون، جاذبۀ زمینی با جاذبۀ فلکی یکی بود. با استفاده از قانون حرکت خود درمورد نظام زمین- ماه، نیوتون موفّق شد ثابت جاذبۀ گالیله را از داده‌های زمینی و نجومی محاسبه کند: به عبارتی:
(3.3) g=(4π^2 R^3)/(r^2 T^2 )
که در آن r شعاع زمین است، R فاصلۀ بین مرکز زمین و ماه، و T زمان گردش کامل ماه (یک ماه قمری).
معادله‌های کلّی درمورد حرکت n ذرّه، تحت جاذبۀ متقابل به‌صورت زیر با نشانه‌های برداری تازه بیان می‌شود:
r ̈_α=-grad_α⁡V (3.4)
V=1/2 ∑_(α,β=1)^n▒  μ_β/r_αβ
(3.5)

جایی که r_α بردار موقعیّت α(α=1,2,…,n) و r_αβ=|r_α-r_β | فاصله بین دو ذرّۀ α و β، V پتانسیل نیروهای گرانشی است.
نیوتون همچنین موفّق شد تا با واردکردن مفهوم جرم، یا دقیق‌تر بگوییم جرم لخت، قوانین حرکت را به نیروهای غیرگرانشی تعمیم دهد. شیوۀ نیوتون در نمایش نتایج، خود به‌صورت اصل موضوعی این نکته را آشکار نمی‌کند که چگونه او به آن‌ها رسیده است. بااین‌حال شاید ممکن باشد بتوان این گام را چون موردی معمول از علیّت دانست که از راه استنتاج بدان رسیده باشیم. برای این کار کافی است شتاب ذرّه‌های مختلفی را که نیروهای غیرگرانشی (بگوییم کشسان) بر یک نقطه از فضا وارد می‌کند، مشاهده کرد؛ این نیروها نه از‌نظر جهت، بلکه تنها از‌نظر دامنه تفاوت دارند. درنتیجه، میتوان با استنتاج به وجود عاملی عددی پی برد که مشخصّۀ مقاومت ذره در برابر شتاب یا لختی است. این عامل را «جرم» می‌نامیم. امّا همین جرم هم بر اساس فرضیّۀ امروزی نسبیّت ممکن است به شتاب وابسته باشد. این امر را می‌توان با آزمایش مشاهده کرد، ولی چون در زمان نیوتون مشاهدۀ چنین اثری ممکن نبود، جرم را ثابت انگاشتیم. پس معادله‌های کلّی حرکت این طور است:
m_α r ̈_α=F_α (3.6)
که در آن m_α (α=1,2,…,n) جرم است و F_α بردارهای نیرو که وابسته به همۀ فواصل متقابل r_αβ همۀ ذرّات است. مانند مورد گرانش، از آن‌ها می‌توان از پتانسیل V با این عمل مشتق گرفت:
F_α=-grad_α⁡V (3.7)
که در آن V تابعی از r_αβ است.کلّی‌ترین صورت V، برای نیرو، با معکوس مربّع فاصله، چنین خواهد بود (سیگما به‌معنای جمع همۀ آلفا و بتا خواهد بود، به‌استثنای آلفا برابر با بتا):
V=∑_(α,β)^( ‘)▒  μ_αβ/r_αβ
(3.8)

که در اینجا μ_αβ مقادیر ثابت است؛ امّا مقایسۀ (3.4) با (3.5) نشان می‌دهد که این‌ها باید به صورت زیر باشد:
μ_αβ=m_α μ_β (3.9)
نیوتون سپس قانون تقارن را به‌کار برد، که اصلی موضوعی بود، یعنی اینکه کنش برابر واکنش است، یا μ_αβ=μ_βα، درنتیجه، این معادله به دست می‌آید:
μ_β=Km_β (3.10)
که در آن K ثابتی کلّی است، یعنی ثابت گرانش است. بنابراین ثابت‌ جاذبه یا گرانشی μ_a متناسب با جرم لختی 〖 m〗_αاست.
نیوتون نه خودش چندان توجّهی به قانون موضوع (3.10) کرد، و نه نسل‌های بسیاری از فیزیک‌دانان و ستاره‌شناسان پس از وی. مشاهدات نجومی کمترین شکّی به درستی آن نکرد، و مشاهدات زمینی (با آونگ‌های مناسب) درستی فوق‌العادۀ آن را ثابت کرد (ایوتی‌ویوس و دیگران). دو سده سپری شد تا اینشتین به مسئلۀ بنیادینی توّجه کند که در معادلۀ سادۀ (3.10) می‌آید، و ساختار عظیم فرضیّۀ نسبیّت عمومی خود را بر آن بنا نهد. به این نکته پس از این باز خواهیم گشت.
امّا این هم در اینجا چندان موضوع حرف ما نیست. ما باید معادله‌های نیوتون را از دیدگاه اصل علیّت بررسی کنیم. امیدوارم روشن باشد که در آن‌ها مفهوم علّت درست به همان معنایی به کار رفته، که تجربه‌گرایان همواره از آن استفاده می‌کنند، به‌عبارتی وابستگی تحقیق‌پذیر چیزی. امّا این چیز هم در فرضیّۀ گالیله و نیوتون مقداری خاص، به عبارتی شتاب است. امّا این خاص‌بودن تنها به این معنا نیست که نه می‌توان آن را دید، نه می‌توان از روی نوار اندازه‌گیری خواند، بلکه به‌این سبب است که زمان را به‌طور ضمنی دربر دارد. درواقع، معادله‌های نیوتون حرکت نظامی را به‌طور کامل در زمان برای وضعیّت اولیّه‌ای (مکان و سرعت همۀ ذرّات دخیل) تعیین می‌کند. در این راه، «علیّت» به «تعیّن» می‌انجامد، نه به‌سبب وجود اصل متافیزیکی‌ای تازه، بلکه به‌سان واقعیّتی فیزیکی چون واقعیّت‌های دیگر. با‌این‌حال، مانند مورد ساده‌تر گالیله، در اینجا رابطۀ میان دو پیکربندی پی‌درپی نظام، دو‌سویه و متقارن است؛ و این تأثیری بر این پرسش دارد که آیا اصل تقدّم همچنان پابرجاست، زیرا بنا به تعریف ما، این کار تنها به رابطۀ علّت‌ و معلولی میان رویداد‌های منفرد مربوط است؛ پس باید در اینجا تغییر موضع دهیم. به‌جای آنکه شتاب جسمی را به‌سبب اجسام دیگر بدانیم، دو پیکربندی پی‌درپی از همۀ نظام را در نظر می‌گیریم و از خود می‌پرسیم آیا منطقی است قبلی را علّت بعدی بدانیم؟ امّا این هم بی‌معناست، زیرا رابطۀ میان دو حالت متقارن است. پس به‌همان اندازه حق داریم دومی را علّت اوّلی بدانیم. ریشۀ این تقارن در تشریح نیوتون از زمان است. هرچند در کتابش (اصول، فصل یک) از مفهوم زمان چون جریانی یکنواخت می‌گوید و استفاده‌ای که از آن می‌کند، اشاره‌ای به جریانی در جهتی واحد را دربر ندارد. زمان نیوتون به‌درستی متغیّری مستقل مانند t است که در معادله‌های حرکت ظاهر می‌شود، به‌شیوه‌ای که اگر t به -t تغییر کند، معادله‌ها بی‌تغییر باقی می‌ماند؛ و در پی آن، چنانچه همۀ سرعت‌ها معکوس شود، نظام به‌همان صورت به عقب باز می‌گردد؛ یعنی کاملاً برگشت‌پذیر است.
متغیّر t، زمان نیوتون، آشکارا آرمانی انتزاعی برگرفته از گرته‌های مکانیکی ساده و مشاهدات نجومی است، که به‌خوبی با حرکت فلکی سازوار است، امّا در تجربۀ معمول ما جایی ندارد. برای ما چنین می‌نماید که حیات روی زمین به‌یقین دریک جهت پیش می‌رود، از گذشته به‌سوی آینده، از تولّد به مرگ، و فهم ما هم از زمان این است که جریانی ناگزیر و برگشت‌نا‌پذیر است.
صورت دیگری از دینامیک نیوتون برای بسیاری از معاصرانش ناخوشایند بود، به‌ویژه برای پیروان دکارت که کیهان‌شناسی‌اش، هرچند با کاستی‌هایی همراه باشد، از اصل هم‌جواری تبعیّت می‌کرد؛ همان‌طورکه گفتم به‌شرط ‌اینکه علّت و معلول در ارتباط فضایی با یکدیگر باشد. نیروهای نیوتونی، که بیان کمّی علّت حرکت است، فرضش این است که باید از طریق فضای خالی عمل کند، چون علّت و معلول هم‌زمان است، هرچند فاصله‌ای میان آن‌ها باشد. نیوتون از ورود به جدلی متافیزیکی خودداری می‌کرد و بر این نکته پافشاری می‌نمود که داده‌ها بی‌ابهام به نتایج او می‌انجامد. مسلّم است که زبان داده‌ها آن‌قدر مستحکم بود که مخالفت‌های فلسفی را به سکوت واداشت، و تنها زمانی که داده‌های تازه، انتشار نیرو با سرعت پایان‌دار را برای نسل بعدی آشکار کرد، به مسئلۀ هم‌جواری در گرانش پرداخته شد. باوجود همۀ این دشواری‌ها، دینامیک نیوتون در خدمت چند نسل از فیزیک‌دانان قرار داشت و امروز هم کارآمد و حتّی لازم است.
فصل چهارم
هم‌جواری
مکانیک واسطه‌های پیوسته
هرچند تأکید دارم نه خود علیّت متافیزیکی است و نه خصلت‌های آن، که آن‌ها را اصول تقدّم و هم‌جواری نامیده‌ام، و تنها استنباط از راه استنتاج، از تجربه فراتر می‌رود، مسلّم است که این افکار بر ذهن بشر تأثیری قوی داشته است، و شواهد کافی هم از اثربخشی آن بر سیر فیزیک کلاسیک در دست داریم. کوشش‌های بسیاری به‌عمل آمده است تا قوانین نیوتون را با این فرض‌ها آشتی دهیم. هم‌جواری ارتباط نزدیکی با ورود نیروی تماس، فشار و کشش دارد و در آغاز دربارۀ اجسام مادی معمول بود، و سپس به اتر الکترومغناطیسی تسرّی پیدا کرد و درنتیجه به فکر میدان‌های نیرو. امّا استفادۀ نظام‌مند هم‌جواری به گرانش، فرضیّه نیوتون را از درون متلاشی کرد و سرانجام نسبیّت اینشتین جای آن را گرفت. سرنوشت فرض تقدّم هم به‌همین منوال بود. تقدّم از نزدیک به برگشت‌ناپذیری در زمان مرتبط است و نخستین صورت‌بندی کمّی خود را در ترمودینامیک یافت. کوشش در راه آشتی‌دادن آن با قوانین نیوتون کار ذرّه‌گرایان و فیزیک‌دانان دلبسته به آمار بود؛ فکر این بود که انباشت شمار زیاد ذرّات نامرئی نیوتونی، اتم یا مولکول، در چشم ناظر، به‌دلایل آماری، به‌ظاهر شکلی برگشت‌ناپذیر دارد. اتم در آغاز فرضی بود، امّا به‌زودی آن را جدّی انگاشتیم، و جست‌و‌جو برای یافتن آن با کامیابی‌ روزافزونی آغاز شد. اتم هرچه بیشتر واقعیّت پیدا کرد و سرانجام دیدنی هم شد. امّا بعدها معلوم شد که اتم اصلاً ذرّۀ نیوتونی نیست. درنتیجه کلّ فیزیک کلاسیک درهم ریخت و فرضیّۀ کوانتومی جای آن را گرفت. از دیدگاه اصول ما، وضع در فرضیّۀ کوانتومی به‌عکس شد. جبرگرایی (که خصیصۀ برجستۀ فرضیّۀ نیوتون است) کنار گذاشته شد، امّا هم‌جواری و تقدّم (که قوانین نیوتون آن‌ها را نقض می‌کرد) به‌میزان زیادی حفظ شد. علیّت، که در صورت‌بندی من، مستقل از تقدّم و هم‌جواری است، از این تغییرات آسیبی ندید: کار علمی همواره در جست‌و‌جوی وابستگی علّی پدیده‌ها به یکدیگر است.
پس از ذکر خلاصۀ این بحث، باز می‌گردیم به این پرسش که چرا در آغاز اصول هم‌جواری و تقدّم در فرضیّۀ نیوتون – هرچند نه بی‌اعتراض – پذیرفته شد ولی سپس آن را تغییر دادند و سرانجام هم ردّش کردند. این تغییر به‌سبب گذار از مکانیک فلکی به مکانیک زمینی بود.
موفقیّت فرضیّۀ نیوتون عمدتاً در زمینۀ حرکت سیّاره‌ای بود، ودر آنجا نیز البتّه موفقیّتش چشم‌گیر بود. هدف من در اینجا پرداختن به تاریخچۀ ستاره‌شناسی پس از نیوتون نیست؛ کافی است به‌خاطر بیاوریم که توان مکانیک تحلیلی در تشریح و پیش‌بینی دقیق مشاهدات، در خیلی‌ها این باور را به‌وجود آورده بود که این کار آخرین صورت‌بندی از قوانین نهایی طبیعت است.
توجّه عمده بر پژوهش ریاضی معادله‌های حرکت بود، و کارهای لاگرانژ، لاپلاس، گاوس، همیلتون و بسیاری دیگر، خاطره‌‌‌هایی ماندگار از این دوره است. از تمام این نوشته‌ها، تنها به اختصار به نوشتههای همیلتون می‌پردازم، زیرا صورت‌بندی او از قوانین نیوتون، کلی‌تر و زیباتر است، و از آن به‌دفعات در درس‌های بعدی استفاده خواهیم کرد. امّا حالا اجازه دهید از میان‌پردۀ ریاضی کوتاهی حرف بزنم که به‌طور مستقیم به علّت و تصادف ربط ندارد.
همیلتون نظامی از ذرّات را در نظر می‌گیرد که به آن‌ها مختصّات (عمدتاً غیر دکارتی) q_1,q_2,…, را می‌دهد؛ انرژی پتانسیل در اینجا تابعی از آن‌هاست V(q_1,q_2,…)، یا به اختصارV(q)، و انرژی حرکتیT تابعی از هر دو مختصّات و سرعت‌های کلّی q ̇_1,q ̇_2,…,T(q,q ̇) خواهد بود. سپس او به تشریح اندازۀ حرکت کلّی می‌پردازد:
p_α=∂T/(∂q ̇_α ) (4.1)
و کل انرژی T+V را تابعی از q_α و p_(α^.) می‌داند.
این تابع:
T+V=H(q,p) (4.2)
امروزه تابع همیلتون نامیده می‌شود.
معادله‌های حرکت هم شکل بندادی سادۀ زیر را دارد:
q ̇_α=∂H/(∂p_α ),p ̇_α=-∂H/(∂q_α ) (4.3)
که از آن‌ها قانون پایستگی انرژی را می‌توان به‌دست آورد:
dH/dt=0,H=” const.”
(4.4)
درست همین فرمول است که در برابر شدیدترین دگرگونی‌هایی که در مفاهیم فیزیکی تاکنون روی داده، یعنی در مقابل گذار به مکانیک کوانتومی جان سالم به‌در برده است.
با بازگشت به دورۀ پس از نیوتون، و هم‌زمان با کاربرد آن در ستاره‌شناسی و تأیید نظریّه، دلبستگی‌ای سرزنده به استفاده از آن در فیزیک معمول زمینی به‌وجود آمد. حتّی در اینجا نیوتون راه را نشان داد و برای مثال سرعت صوت در سیّال را محاسبه کرد. سرانجام مکانیک اجسام صلب کشسان به تغییری از تعریف نیوتون از نیرو انجامید که از هم‌جواری تبعیّت می‌کرد. عمدۀ این کار مدیون کوشی، ریاضی‌دان بزرگ است. کوشی مانند بسیاری دیگر از کسان پیش از خود، با درنظرگرفتن اینکه جسم صلب انباشتی از ذرّات کوچک است که روی یکدیگر کنشی از راه نیروهای نیوتونی دارند که هم‌جوار نیستند و با فاصلۀ اندکی از یکدیگرند، به‌میزانی دیدگاه ذرّه‌ای تازه را پیش‌بینی کرد. امّا مسلّماً در آن زمان، دلیلی برواقعیّت فیزیکی این ذرّات در دست نبود. در کاربرد‌های فیزیکی هم ردّ آن‌ها به‌طور معمول حذف می‌شد. صورت این نتایج، کوشی را به فکر شیوۀ دیگری از راه‌یابی به مسئله کشاند، که در آن مکانیک ذرّه‌ای از اساس مردود بود. مادّه را چون پیوستاری واقعی به‌معنای ریاضی آن انگاشتیم، پس این هم به این معناست که می‌توان از نیروی میان دو تکّه از ماده حرف زد که با سطحی از هم جدا شده باشد. از دیدگاه امروزی ما، این گامی در جهتی نادرست بود، چون می‌دانیم ماده ناپیوسته است. امّا کار کوشی نشان داد چگونه می‌توان هم‌جواری را در مکانیک وارد کرد؛ اهمیّت این نکته زمانی مشخّص شد که شیوۀ تازه را در اتر، این حامل نور و نیروی مغناطیسی و الکتریکی به‌کار گرفتیم که امروز هم آن را پیوسته می‌دانیم؛ هرچند مشخصّات اصلی ماده را از دست داده و چندان نمی‌توان آن را واسطه‌ای پیوسته دانست.
در این نظریّه همۀ قوانین به صورت معادله‌های دیفرانسیل جزئی است، که در آن‌ها سه مختصّۀ فضایی با زمان، مختصاتی مستقل است.
در اینجا پیش‌طرحی از مکانیک واسطه‌های پیوسته خواهم داد.
تصوّر می‌شود که جرم، شتاب و همۀ دیگر خواص مادّه به‌طور پیوسته در فضا توزیع می‌شود. میزان جرم در واحد حجم یا چگالی ρ در این‌صورت تابعی از مختصّات فضایی است، و همین امر نیز دربارۀ جرم مشخص u=ρv (به‌عبارتی مقدار جرمی که از واحد سطح در واحد زمان عبور می‌کند) درست است. پایستگی (فناناپذیری) جرم دراین صورت به آنچه که معادلۀ پیوستگی نامیده می‌شود، می‌انجامد ( ضمیمۀ 3):
ρ ̇+div⁡u=0 (4.5)
درمورد نیرو، باید در نظر داشت که اگر مادّه را به دو بخش جداگانه با سطحی تقسیم کنیم، هر بخش از راه این سطح، دیگری را هم جذب می‌کند و هم دفع، که اگر آن را در واحد سطح در نظر بگیریم، کشش یا تنش نامیده می‌شود. یک حساب ریاضی ساده، که مبتنی بر شرایط تعادل نیروهای منتجّه‌ای باشد که بر سطوح واحد حجم وارد می‌شود، نشان می‌دهد که کافی است این نیروهای تنشی را برای واحدهای سه سطح غیرهم‌صفحه تعریف کنیم، یعنی سطوحی موازی با سه صفحۀ مختصّات. نیروی وارده بر آن جزء را، که عمود بر x باشد با T_x نشان می‌دهیم با مولّفه‌های T_xx,T_xy,T_xz، و دو نیروی دیگر را با T_y (T_yx,T_yy,T_yz ) و T_z (T_zx,T_zy,T_zz ). درنتیجه نیروی وارده بر واحد سطح با بردار واحد عمودی:
n(n_x,n_y,n_z )
از این راه به دست می‌آید:
T_n=T_x n_x+T_y n_y+T_z n_z (4.6)
استفاده از قانون اندازۀ حرکت درمورد واحد سطحی کوچک، نشان می‌دهد (ضمیمۀ 3):
T_yz=T_zy,〖 T〗_zx=T_xz,〖 T〗_xy=T_νx (4.7)
درنتیجه مقادیر T از ماتریس متقارن زیر، یعنی تانسور تنش به دست می‌آید:
T=(█(&T_xx &&T_xy &&T_xz@&T_yx &&T_yy &&T_yz@&T_zx &&T_zy &&T_zz ))
(4.8)
قانون نیوتون که درمورد واحد سطح از آن استفاده شد، سرانجام به معادلۀ زیر منتهی می‌شود:
ρ dv/dt=div⁡T
(4.9)
که در آن div⁡T برداری است با مؤلّفه‌های:
(div⁡T)_x=(∂T_xx)/∂x+(∂T_xy)/∂x+(∂T_xz)/∂x,…
(4.10)
و d/dt عملگر:
d/dt=∂/∂t+v_x ∂/∂x+v_ν ∂/∂y+v_z ∂/∂z
(4.11)
که آن را «مشتق هم‌رفت» می‌نامیم.
(4.9) و (4.5) معادله‌های جدید حرکت است که از فرض هم‌جواری پیروی می‌کند. آن‌ها نمونه‌هایی از نظریّۀ میدان است که در پی می‌آید و به‌صورت کنونی هنوز ناقص است و بی‌معنی، زیرا وابستگی تانسورکشش به شرایط فیزیکی نظام مشخص نشده است – درست به همان صورت که اگر وابستگی نیرو به پیکربندی ذرات در معادله‌های نیوتون مشخّص نشود، آن‌ها بی‌معنی خواهد بود. پیکربندی نظامی پیوسته را نمی‌توان با مقادیر شمار محدودی از متغیّر تشریح کرد، بلکه نیاز به برخی توابع فضایی است که آن‌ها را «مؤلّفه‌های کرنش» می‌نامند. آنها را به‌این‌صورت تشریح می‌کنند: حجم کوچکی (بی‌نهایت کوچک) از:
(4.12) 〖 e〗_11 x^2+e_22 y^2+e_33 z^2+2e_23 yz+2e_31 zx+2e_12 xy=ϵ ,
شکلی در ابتدا کروی، به‌صورتی بیضی‌گون تغییر شکل خواهد داد؛ معادلۀ آن این‌طور است:
که درآن ϵ مقدار ثابت (بی‌نهایت کوچک) است، که ابعاد مطلق را اندازه می‌گیرد، و e_11,e_22,…,e_12 شش کمیّت است که وابسته به مکان x,y,z مرکز کره است. این e_ij مؤلفّه‌های تانسور کرنش e است.
در نظریّۀ کشسانی فرض ‌این است که مؤلّفه‌های T_ij توابع خطّی از مؤلّفه‌های (قانون هوک) e_ij است.
در هیدرودینامیک رابطۀ میان Tو e مشتقات فضا و زمان e_ij را دربر می‌گیرد. در جامد پلاستیک، وضع از این هم پیچیده‌تر است.
نیازی نیست در اینجا در رشته‌های مختلف مکانیک واسطه‌های پیوسته ورود کنیم. نکتۀ مهم برای ما این است: نیروهای تماس نه به‌ناگهان بلکه با سرعتی معیّن پخش می‌شود. این همان صورت اصلی است که مکانیک هم‌جواری کوشی را از مکانیک غیرهم‌جواری نیوتون متمایز می‌کند. ساده‌ترین نمونه سیّال کشسان (مایع یا گاز) است. در اینجا تانسور تنش T تنها دارای اجزاء در جهت قطر است که با یکدیگر مساوی است و نشان‌دهندۀ فشار p است. پیکربندی را می‌توان تنها با یک متغیّر، یعنی متغیّر چگالی p، یا برای جرمی معیّن، با حجم V تشریح کرد. رابطۀ میان p و V می‌تواند هر تابعی مانند p=f(V) باشد – وقتی به ترمودینامیک می‌پردازیم، لازم است این نکته را به‌یاد بیاوریم. اختلالات کوچک در تعادل با معادله‌های عمومی، به معادله‌های خطّی تقلیل می‌یابد؛ هر کمیّت ϕ در سیالی ایزوتروپیک (تغییر حجم یا فشار) از معادلۀ موج خطّی پیروی می‌کند:
1/c^2 (∂^2 ϕ)/(∂t^2 )=Δϕ
(4.13)
که در آن دلتا عملگر دیفرانسیل لاپلاس است:
Δ=divgrad=∂^2/(∂x^2 )+∂^2/(∂y^2 )+∂^2/(∂z^2 )
(4.14)
و c یک ثابت است که به‌آسانی می‌توان آن را به‌معنای سرعت فازی موج هماهنگ مسطّح دانست:
ϕ=A sin⁡〖2π/λ (x-ct)〗
معادلۀ (4.13) مکانیک را به سایر رشته‌های فیزیک، که سیر مستقلّ خود را پیموده‌اند، مانند نورشناسی و الکترومغناطیس، متصل می‌کند.

میدان‌های الکترومغناطیسی
تاریخچۀ نورشناسی، به‌خصوص سهم نیوتون و کشمکش او با هیوگنس دربارۀ طبیعت ذرّه‌ای یا موجی نور، آن‌قدر شناخته شده هست که نیاز به صحبت دربارۀ آن نباشد. یک‌صد سال پس از نیوتون، طبیعت موجی نور را یانگ و فرنل از راه آزمایش در زمینۀ پراش و تداخل مشخّص کردند. از معادلۀ موج از نوع (4.13) به‌طور عام در تشریح مشاهدات استفاده شد، که در آن ϕ به‌معنای دامنۀ ارتعاش است.
امّا چه چیزی ارتعاش می‌کند؟ چیزی به نام «اتر» دم‌دست بود، و این امکان تا امواج عرضی منتشر شود، به‌نظر می‌آید فکر مقایسه با جامد کشسان را پیشنهاد می‌دهد. در این راه مسلّم می‌نمود که خلاء پر از اتر باشد، یعنی حامل نیروهای تماس که با سرعتی معیّن گسترش می‌یابد. این نیروها مدّتی دراز به آرامی در کنار نیروهای لحظه‌ای نیوتون، گرانش نیوتونی، و سایر نیروهای مشابه دیگر که بر تشریح آزمایش‌های اوّلیّه در برق و مغناطییس به کار می‌رفت، وجود داشت. این نیروها به‌طور معمول با نام کولن همراه است که آن‌ها را از راه اندازه‌گیری مستقیم شدت جذب و دفع بین اجسام کوچک با بار مغناطیسی، و بین قطب‌های آهن ربا به‌شکل سوزن تائید کرد. کولن قانونی مشابه قانون نیوتون، به شکل μr^(-2) یافت که در آن ثابت μ وابسته به شرایط برقی‌شدن یا مغناطیسی‌شدن ذراتی است که برهم‌کنش دارد؛ با استفاده از قانون کنش و واکنش می‌توان μ را به عوامل μ=e_1 e_2، درمورد الکتریسیته شکست، که در آن e_1,e_2 بار نامیده می شود. البتّه باید توجّه داشت که این قانون را پیشتر کاوندیش و پریستلی با دقّت بیشتر از راه استنتاج غیرمستقیم به کمک این عامل یافته بودند که رسانایی بسته، ذرّه‌ای باردار را از تأثیر بارهای خارجی جدا می‌کند؛ این استدلال، باوجود اینکه هنوز آراسته به زبان نیروهای نیوتونی است، به مفاهیم نظریّۀ میدان بسیار نزدیک است.
اهتمام کوشی به صورت‌بندی برهم‌کنش‌های مکانیکی میان جریان‌های خطّی (در سیم‌های نازک) با عبارات نیروهای نیوتونی، فیزیک را در نخستین نیمۀ سدۀ نوزدهم با مشکلاتی جدّی رو‌به‌رو کرد. دراین‌میان فارادی تحقیقات خود را به‌ دور از هرگونه نظریّۀ ریاضی آغاز کرد، و به‌کمک نیروهای تماس شواهد مستقیمی بر فهم پدیدۀ الکتریسیته و مغناطیس فراهم آورد. او صحبت از فشار و تنش در واسطه‌هایی به میان آورد که در برگیرندۀ اجسام باردار بود – با استفاده از عبارات واردشده در نظریّۀ کشسانی، هرچند با تغییرهای بسیار و گاه غریب. البّته، نامعمول‌بودن این استدلال‌ها برای معاصران دانشمند او، پذیرفتن افکار او را و کنارگذاشتن روش تشریح نیوتونی را، که به‌خوبی شناخته‌شده بود، دشوار کرد. از دیدگاه امروزی ما، تفاوت ذاتی میان دو روش، چنانچه پدیده را ایستا و ساکن بدانیم، وجود ندارد. تحلیل‌های ریاضی نشان می‌دهد که نیروهای برآیند بر اجسام مشاهده‌شدنی را می‌توان یا به‌صورت انتگرال‌هایی نیوتونی – یا بهتر است بگوییم کولنی – دانست که با فاصله عمل می‌کند، یا با انتگرال‌های رویه‌ای کشش که از معادلۀ میدان مشتق می‌شود. این نکته نه تنها درمورد رساناها در خلاء مصداق دارد، بلکه درمورد مواد مغناطیس‌شدنی و دی‌الکتریک هم درست است. درمورد اخیر این هم درست است که نیروهای کولنی به معادله‌های انتگرالی می‌انجامد که به‌نحوی درگیر است، امّا معادله‌های دیفرانسیلی میدان، باوجود شکل ساده‌تر خود، ذاتاً ساده‌تر نیست. در کتاب‌های درسی امروزی به این نکته عموماً توجّه نمی‌شود. بااین‌حال، در زمان فارادی هم‌ارزی معادله‌های دیفرانسیل و انتگرال برای این نیروها شناخته‌شده نبود، و حتّی اگر هم چنین می‌بود، فارادی به آن اهمیّت چندانی نمی‌داد. عقیدۀ او به برتری نیروهای تماس بر نیروهای کولنی بر ذوق فیزیکی استوار بود. در اینجا به نابغۀ دیگری در ریاضی، مانند کلرک ماکسول، نیاز بود تا دلیلی بیابد که عمل نیروهای لحظه‌ای از فاصله‌ای معیّن پذیرفتنی نیست: سرعت معیّن انتشار. چندان آسان نیست تا به تحلیل درست بنیاد‌های معرفت‌شناختی و تجربی پیش‌بینی ماکسول در اینجا بپردازیم، زیرا او در نوشته‌های نخستین نمونه‌هایی نامعمول به‌کار می‌برد و ناب‌بودن افکارش تنها در نوشته‌های بعدی پدیدار می‌شود. گمان می‌کنم راهی که به معادله‌های ماکسول، بی‌هیچ زیاده‌گویی بیهوده و حاشیه‌رفتن، انجامید این بود: با درهم‌آمیزی همۀ داده‌های تجربی دربارۀ بار، قطب مغناطیسی، جریان، و نیروهای میان آن‌ها، او موفق شد دسته‌ای از معادله‌های میدان برقرار کند که تغییرات فضایی و زمانی قدرت نیروهای میدان الکتریکی و مغناطیسی (نیرو در واحد بار) را به شدت و جریان بار الکتریکی مرتبط می‌کرد. اگر این شرط برقرار باشد که هر تغییری در بار تنها میتواند با یک جریان روی دهد (با معادلۀ پیوستگی شبیه به (4.5)؛ بنگرید به ضمیمۀ 4) نارسایی به‌روشنی آشکار می‌شود. به زبان آن دوره، نتیجه به‌این صورت بیان شد که هیچ جریان‌ بازی را (مانند تخلیۀ چگالنده‌ها را) نمی‌توان با این نظریّه تشریح کرد. درنتیجه، چیزی در آن معادله‌ها اشتباه بود، و بازبینی نشان داد ویژگی‌ای مشکوک، نبود تقارن، سبب آن بود. عباراتی که قانون استقرای فارادی (تولید نیروی برق از راه تغییر زمانی میدان مغناطیسی) را نشان می‌دهد، که تبادل نماد‌های کمِیت‌های الکتریکی و مغناطیسی نمی‌تواند عوضی داشته باشد (تولید نیروی مغناطیسی با استفاده از تغییر زمانی میدان الکتریکی). ماکسول بی‌آنکه شاهد مستقیم آزمایشگاهی‌ای در دست داشته باشد، این اثر معکوس را فرض قرار داد و به معادلۀ خود عبارت متناظر را افزود؛ عبارتی بیانگر اینکه تغییری در میدان الکتریکی (جابه‌جایی جریان) در کنش مغناطیسی خود معادل جریانی عادی است؛ و این گمان بر عقیده به هماهنگی استوار بود. امّا حالا با استدلالی ریاضی می‌توان آن را به واقعیّتی بسیار پراهمیّت مرتبط کرد که به تنهایی کافی بود ماکسول را از درستی گمان خود مطمئن کند – درست همان‌طور‌که نیوتون از درستی قانون گرانش خود تنها با یک مطابقۀ عددی اطمینان پیدا کرد، یعنی با محاسبۀ گرانش زمین در مدار ماه. ماکسول نشان داد معادله‌های اصلاح‌شدۀ او راه‌حلّ‌هایی دارد که موج را می‌نمایاند، سرعت و c را، که با آن‌ها می‌توان ثابت‌های منحصراً الکتریکی و مغناطیسی را بیان کرد، زیرا مشخّص شد خلاء c برابر با نسبت واحد بار الکترواستاتیکی محاسبه‌شده (بنا بر قانون کولن) به بار الکترومغناطیسی است (بنا بر قانون اورستد). این نسبت، کمّیتی از ابعاد سرعت بود که از راه اندازه‌گیری‌های کول‌راوش و وبر بر ما شناخته‌شده بود، و مقدار عددی آن با سرعت نور مطابقت داشت. این امر مسلمّاً نمی‌توانست چندان اتّفاقی باشد، به‌طوری‌که ماکسول توانست نظریّۀ الکترومغناطیسی نور را اعلام کند.
هرتس پس از مرگ ماکسول با کشف امواج الکترومغناطیسی نظریّۀ ماکسول را تأیید نهایی کرد.
در اینجا نمی‌توانم بیش از این سیر رویدادهای نظریّۀ الکترومغناطیسی را دنبال کنم. تنها می‌خواهم بر این نکته تأکید کنم که استفاده از نیروهای تماس و معادله‌های میدان، یعنی وارد‌شدن هم‌جواری در الکترومغناطیس، نتیجۀ تلاشی طولانی در مخالفت با مبادی گرایش نیوتونی بود. این نکته نظر مرا تأیید می‌کند که مسئلۀ هم‌جواری موضوعی متافیزیکی نیست، بلکه برآمده از تجربه است.
اکنون باید ببینیم آیا قوانین الکترومغناطیس از اصل تقدّم پیروی می‌کند‌؟ بررسی معادلههای ماکسول نشان می‌دهد (ضمیمۀ 4) که برگشت زمان، t→-t، همه‌چیز ازجمله معادلۀ پیوستگی را، اگر چگالی الکتریکی و میدان تغییر نکند، بی‌تغییر برجا می‌گذارد، درحالی‌که جریان الکتریکی و میدان مغناطیسی برعکس شود. این همان برگشت‌پذیری است که شبیه به آن را در مکانیک دیده‌ایم، یعنی در جایی که تغییری در علامت سرعت، نظام را به وضعیّت اوّلیّه باز می‌گرداند. در اینجا تفاوت تنها در عمل است: تغییر در علامت چگالی‌های جریان و میدان مغناطیسی آن‌قدر ساده نیست تا بتوان بدان مانند مجموعه‌ای معیّن از سرعت‌ عمل کرد؛ با ملاحظۀ موجی الکترومغناطیسی که از چشمه‌ای نقطه‌ای انتشار می‌یابد، این وضعیّت بهتر فهمیده می‌شود. راه‌حل ّمتناظر معادلۀ ماکسولی آن را، پتانسیل‌های به‌اصطلاح تأخیری به‌دست می‌دهد که نشان‌دهندۀ حالت الکتـرومغناطیسی در نقطۀ P برای زمـان t به زبان حـرکت چشمه در زمـان t-r/c است، که در آن r فاصله از P چشمه است. امّا راه‌حلّ‌های دیگری هم وجود دارد، مانند پتانسیل‌های پیشرفته، که اشاره به زمان بعدی t+r/c دارد، و نشان‌دهندۀ موجی درحال انقباض به سوی مبداء است.
البتّه این امواج انقباضی بر حلّ برخی مسائل ضروری است. برای نمونه موجی کروی را تصوّر کنید که آیینه‌ای کروی هم‌مرکز آن را بازتاب می‌دهد. چنین آینه‌ای باید کاملاّ بی‌عیب باشد تا کار خود را انجام دهد، و این به‌نظر دربارۀ پتانسیل‌های پیشرفته در طبیعت نامحتمل می‌رسد. برای تشریح فرایند اوّلیّۀ انتشار اتم یا الکترون معادله‌های ماکسول را با این قاعده تکمیل کردیم که تنها راه‌حلّ‌های تأخیری مجاز است. در این راه می‌توان نوعی برگشت‌ناپذیری را وارد کرد تا اصل تقدّم محقّق باشد. امّا همۀ این کارها درجمع ساختگی است و رضایتی فراهم نمی‌آورد. برگشت‌ناپذیری فرایند کنونی الکترومغناطیسی ریشه در واقعیّت‌هایی دارد که بعداّ باید به جزئیّات آن بپردازیم. معادله‌های ماکسول خود از فرض تقدّم پیروی نمی‌کند.
نسبیّت و نظریّۀ میدان گرانش
وضعی که اکنون با آن روبه‌رو هستیم همان است که من نزدیک به پنجاه‌سال پیش وقتی شروع به تحصیل کردم، با آن مواجه بودم. در آن زمان، مکانیک نیوتونی کنش لحظه‌ای از هر فاصله‌ای، مکانیک مواد پیوستۀ کوشی، و الکترودینامیک ماکسول کنار‌به‌کنار هم در صلح‌وصفای نسبی بودند، ودوتای آخری هم از فرض هم‌جواری پیروی می‌کرد. به نظر می‌رسید که نظریّۀ ماکسول دراین‌میان ثمربخشی بیشتری داشت و نوید‌دهنده بود؛ و به‌تدریج این فکر شایع شد که شاید همه نیروهای طبیعت منشأیی الکترومغناطیسی داشته باشد. این مسئله را هم باید در نظر می‌گرفتیم که چگونه می‌توان نیروهای گرانشی نیوتون را با فرض هم‌جواری سازگار کنیم. راه‌حلّ همان نظریّۀ عمومی نسبیّی اینشتین بود.
این به‌خودی‌خود داستانی طولانی و شنیدنی است که نه تنها مفهوم علّت مورد نظر ما را در اینجا دربر دارد، بلکه دیگر مفاهیم فلسفی و به‌عبارتی آن‌هایی را که به فضا و زمان مرتبط است. بحث گسترده در‌بارۀ این مسائل ما را از موضوع بسیار دور می‌کند، و به نظرم ضرورتی هم ندارد که به آن‌ها بپردازیم، چون امروزه نسبیّت به‌خوبی شناخته شده و بخشی از دروس دانشجویان رشته‌های ریاضی و فیزیک هم هست. پس کوتاه به آن می‌پردازم.
مسائل فیزیکی که به نظریّۀ نسبیّت انجامید به پدیده‌های نوری و الکترومغناطیسی اجسام با حرکت سریع مرتبط بود. دو نوع آزمایش وجود دارد: آنهایی که از سرعت بالای اجسام فلکی استفاده می‌کند (مانند آزمایش مایکلسون و مورلی) و آنهایی که الکترون یا یون‌های سریع را به کار می‌برد (مانند اندازه‌گیری‌های بو‌‌خرر از جرم الکترون با پرتو کاتودی چون تابعی از سرعت). کارهای لورنتس، فیتزجرالد، پوانکاره، و سایرین زمینه را برای کشف اینشتین فراهم آورد، به‌این‌معنی که ریشۀ همۀ مشکلات در فرض زمان کلّی در همۀ نظام‌های ارجاع بود. او نشان داد چنین تصوّری در هر تجربۀ ممکنی بی‌پایه است و آن را با تشریحی ساده از زمان نسبی جایگزین کرد که در هر نظام مختصّاتی داده‌شده‌ای معتبر باشد، امّا از‌نظر زمانی متفاوت با نظام دیگری با حرکت نسبی است. قانون صوری تبدیل از نظامی فضا-زمانی به دیگری را پیشتر می‌شناختند، و آن را به تحلیل لورنتس مدیون بودند؛ این قانون درواقع خاصیّتی ذاتی از معادله‌های ماکسول است. تبدیلات لورنتس خطّی است؛ و به‌معنای هم‌ارزی فیزیکی نظام‌های با حرکت نسبی و با سرعت ثابت است (ضمیمۀ 5).
نظریّه گرانشی اینشتیین به‌طور صوری بر تعمیم این تبدیلات به غیرخطّی‌کردن یا به هر تبدیل دلخواه دیگری استوار است؛ به‌کمک آن‌ها می‌توان گذار سریع از نظامی ارجاعی را به نظام شتاب‌دار دیگری (و هم‌زمان تغییریافته) را بیان کرد. فکر فیزیکی مندرج در پس این فرمالیسم ریاضی را پیشتر ذکر کردیم: نسبت دقیق جرم، آن‌طور که لختی آن را تعیین می‌کند و جرم آن‌طورکه گرانش آن را تعریف می‌‌کند، یعنی معادلۀ (3.10)؛ یا به‌عبارت دیگر، این واقعیّت که در قانون حرکت گرانشی نیوتون (3.4) جرم (لختی) ظاهر نمی‌شود.
اینشتین موفق شد معادله‌های میدان گرانشی را با شناسایی مؤلّفه‌های این میدان، با مقادیر g_μν برقرار کند، و این کمیّت‌ها همان هندسۀ فضا- زمان، و به‌عبارتی ضریب‌های عنصر خطّی:
ds^2=∑_(μ,ν)▒  g_μν dx^μ dx^ν
(4.15)

است که در آن x^1,x^2,x^3 مختصّات فضایی x,y,z,x^4 است و t زمان را نشان می‌دهد.
در هندسۀ معمول سه‌بعدی اقلیدسی، g_μν ثابت است و می‌توان آن را با انتخاب مناسب نظام مختصّاتی به شیوۀ زیر عادی کرد:
g_μμ=1,〖 g〗_μν=0″ for ” μ≠ν

مینکووسکی نشان داد نسبیّت خاص را می‌توان هندسۀ چهار‌بعدی دانست، که در آن زمان مختصّۀ چهارم است، امّا بازهم همراه ثابت g_μν می‌آید که می‌تواند به شکل زیر عادی شود:
(4.16) g_11=g_22=g_33=1,〖 g〗_44=-1,g_μν=0″ for ” μ≠ν
از کارهای ریمان چنین بر می‌آید که نوعی هندسۀ غیر‌اقلیدسی کلّی در فضای سه‌بعدی وجود دارد که می‌توان آن را با ا ختیار g_μν، چون تابع متغیری از x^1,x^2,x^3، به‌دست آورد، و خواص ریاضی این هندسه به‌کمال مطالعه شده است ( لوی‌-چی‌ویتا، ریچی).
اینشتین فرمالیسم ریمان را به چهار‌ بعد تعمیم داد، درحالی‌که در نظر داشت که g_μν تنها وابسته x^1,x^2,x^3 نیست، بلکه به x^4، هم وابسته است، یعنی به زمان. امّا او g_μν را، توابعی از x^1,x^2,x^3,x^4 نمی‌دانست، بلکه چون کمّیت‌های میدان می‌دید که باید از توزیع جرم محاسبه شود. او مجموعه‌ای از کمیّت‌های R_μν را برقرار کرد که می‌توان به آن چون اندازۀ «انحنا» فضا نگریست و توابعی از g_μν است، و مشتق اوّل و دوم آن‌ها، و معادله‌های مفروض به‌صورت زیر است:
R_μν=κT_μν
(4.17)
جایی که κ یک ثابت است و T_μν تعمیم‌هایی از کشش در ماده است، همان‌گونه که در (4.8) تشریح شده است. برای این کار باید تانسور T را در سطر چهارم و ستون چهارم تکمیل کنیم، به‌طوری‌که T_14,T_24,T_34 مؤلّفه‌های چگالی اندازۀ حرکت است، و T_44 چگالی انرژی است. این معادله‌های (4.17) به‌مفهوم کلّی، یعنی برای همۀ تبدیلات پیوسته در فضا – زمان ناورداست، و تنها ذاتاً با این خاصیت مشخّص می‌شود، و با این فرض که هیچ مشتقی نباید از مرتبۀ بزرگ‌تر از دوم ظاهر شود.
اگر پراکندگی ماده، یعنی T_μν معلوم باشد، معادله‌های میدان (4.17) این امکان را فراهم می‌کند تا g_μν را محاسبه کنیم، یعنی هندسۀ فضا را. اینشتین راه‌حلّی برای نقطه‌ای جرمی چون منبع میدان پیدا کرد، و با این فرض که حرکت ذره‌ای دیگر را، خط ‌ژئودزیکی، چه کوتاه یا مستقیم، در این هندسه تعیین می‌کند، نشان داد قانون حرکت سیّاره‌ای نیوتون اوّلین تقریبی است که به‌دست می‌آید. تقریب‌های بالاتر به انحراف‌های کوچک می‌انجامدکه برخی از آن‌ها مشاهده‌شدنی است. در اینجا نمی‌خواهم به بحث دربارۀ همۀ نتایج نظریّۀ گرانشی نو بپردازم؛ پیش‌بینی‌های اینشتین تأیید شده، هرچند برخی از آن‌ها هنوز در آستانۀ تأیید از راه فن مشاهده است. در اینجا می‌خواهم از نکته‌ای نظری، که به‌خوبی شنتاخته نشده، ولی بسیار مهّم است بگویم. این فرض که حرکت ذرّه‌ای را، با حرکت خطّی ژئودزیک می‌توان به دست داد، چندان به‌وضوح رضایت‌بخش نیست؛ انتظارمان شاید این باشد که معادله‌های میدان بتواند نه تنها میدان را که ذرات تولید کرده به‌دست دهد، بلکه واکنش ذرات را هم نسبت به میدان تعیین کند؛ این همان حرکت آن‌هاست. اینشتین با همکاران دیگرش، اینفلد و هوفمن، ثابت کرد که این امر درواقع همان است که می‌خواستیم، و همان نتیجه را به‌طور مستقل، فوک، فیزیک‌دان روسی، و گمان می‌کنم به‌شیوه‌ای بسیار ساده‌تر به‌دست آورده بود. بر اساس این مقاله‌های تحسین‌برانگیز می‌توان گفت که نظریّۀ میدان گرانش منطقاّ کامل و بی‌نقص است – اینکه آیا آزمایش با مشاهده آن را تأیید می‌کند یا نه، چیزی است که باید منتظرش باشیم.
از دیدگاه فلسفی مسئله – که موضوع این درس‌هاست – چند نتیجه می‌توان به‌دست آورد. نخست اینکه هندسۀ فیزیکی چندان هم نظام ریاضی انتزاعی نیست، بلکه وجه هندسی رفتار اجسام به‌فعل است، که متأثّر از رابطۀ علّت – معلول است و مرتبط با همۀ دیگر رشته‌های علم. ریاضی‌دانان همواره بر دیدگاه عکس تأکید دارند؛ آن‌ها صحبت از هندسی‌کردن فیزیک می‌کنند، هرچند نمی‌توان رد کرد که زیبایی ریاضی این روش الهام‌بخش پژوهش‌های باارزش بسیاری بوده است؛ به نظرم می‌رسد که این به‌معنای دست‌بالاگرفتن فرمالیسم دخیل در آن است. نکتۀ اصلی این است که مکانیک هندسی یا هندسۀ مکانیکی اینشتین با اصل هم‌جواری سازگار است. ازسوی‌دیگر، تقدّم، وقتی در دو پیکربندی متوالی چون علّت و معلول، و نه چندان در الکترودینامیک، به‌کار رود، محقّق نمی‌شود، زیرا جهتی ذاتی در جریان زمان در معادله‌ها وجود ندارد. نظریّه، دست‌کم ازنظر اصولی، جبرگراست: آینده یا گذشتۀ حرکت ذرّات و پراکندگی میدان گرانشی را، اگر وضعیّت در زمان داده‌شده‌ای به‌همراه شرایط حدّی در هر زمان (محو میدان در بی‌نهایت) معلوم باشد، می‌توان از راه معادله‌ها پیش‌بینی کرد. امّا چون میدان گرانشی بین ذرّ‌‌ات با سرعت مشخّص در حرکت است، این گزاره با جبرگرایی نیوتونی یکسان نیست: به شناختی نه تنها دربارۀ وضع همۀ ذرّات، بلکه از همۀ امواج گرانشی (که در نظریّۀ نیوتونی وجود ندارند) نیاز است. اینشتین خصلت جبرگرای نظریّۀ خود را بسیار مهم می‌دانست. او به آن چون فرضی می‌نگرد که باید از هر نظریّۀ فیزیکی انتظار داشت و درنتیجه آن بخش از فیزیک امروزی را که با آن سازگار نیست، رد می‌کند.
در اینجا می‌خواهم این نکته را یادآوری کنم که جبرگرایی در نظریّه‌های میدان برایم چندان اهمیّتی ندارد. برای نمایش قدرت مکانیک،لاپلاس ابرریاضی‌دانی را ابداع کرد که چنان‌که مکان و سرعت همۀ ذرّات را در لحظه‌ای به او می‌دادند، می‌توانست آیندۀ جهان را پیش‌بینی کند. من با او در این کار دشوار همدلم. امّا دلم هم برای او می‌سوخت، اگر ناگزیر می‌شد نه تنها معادله‌های متعدّد دیفرانسیل از نوع نیوتونی را، بلکه معادله‌های با مشتقّ‌های نسبی نظریّۀ میدان را همراه با ذرّات چون تکینگی حلّ کند.

فصل پنجم
تقدّم: ترمودینامیک
اکنون باید به بحث در‌بارۀ تجربه‌هایی بپردازیم که امکان می‌دهد به‌طور تجربی و عینی میان گذشته و آینده فرق بگذاریم، یا با مجموعۀ واژگانی خودمان، اصل تقدّم را در زنجیرۀ علّت و معلولی برقرار کنیم. این تجربه‌ها به تولید و انتقال حرارت وابسته است. چنانچه بخواهیم دربارۀ گام‌های نخستی که به ترجمۀ پدیدۀ ذهنی گرم و سرد به زبان عینی فیزیک می‌پردازد، حرف بزنیم، باید داستانی طولانی را نقل کنیم: یعنی تفاوت بین کیفیت «دما» و کمیّت «گرما»؛ و به‌همراه آن اختراع ابزارهای متناظر، دماسنج و گرماسنج. یقین دارم جنبۀ فنّی این موضوع کاملاً شناخته‌شده است. من مفاهیم گرمایی را به‌نحو عادی به کار خواهم برد، هرچند ناگزیرم اکنون به تحلیل آن‌ها از دیدگاه روش‌شناختی علمی بپردازم. مسلّم است که مقدار گرمایی اندازه‌پذیر را چون نوعی مادّۀ نامرئی موسوم به حرارت‌زا تصّور کنیم. برای جریان گرما از همان شیوه‌ای برای پیش‌برد کار استفاده می‌کنیم که برای مواد سیّال در نظر داریم، هرچند با تفاوتی مهم: لختی سیّال گرمایی به نظر ناچیز مینمود؛ جریان آن را معادلۀ دیفرانسیلی تعیین می‌کند که از مرتبۀ دوم نیست، بلکه از مرتبۀ اوّل نسبت به زمان است. آن را از معادلۀ پیوستگی زیر به‌دست می‌آوریم ( معادلۀ (4.5) ):
Q ̇+div⁡q=0
(5.1)
با فرض آنکه تغییر چگالی گرمای Q متناسب با تغییر دمای ،T δQ=cδT است (در آن c گرمای ویژه است)، درحالی‌که جریان گرمای q متناسب با گرادیان منفی دماست q=-κgrad⁡T (در اینجا κ ضریب رسانایی است). پس:
c ∂T/∂t=κΔT
(5.2)

معادلۀ دیفرانسیلی از مرتبۀ اوّل نسبت به زمان است. این معادله نقطۀ آغاز یکی از بزرگ‌ترین کشفیّات ریاضی بود، یعنی نظریّۀ فوریه در‌بارۀ بسط دلخواه توابع با مجموعه‌ای متعامد از توابع متناوب ساده، که اوّلین نمونه از بسط عددی مشابه آن بود و هسته‌ای به‌شمار می‌رفت که بخش‌های چشمگیری از تحلیل امروزی و فیزیک ریاضی از آن گسترش یافت.
امّا از این وجه در اینجا به معادلۀ (5.2) نظر نداریم، بلکه به‌صورت زیر است:
این معادله اجازه نمی‌دهد تا t را به -t تغییر دهیم، و آن‌طورکه در معادله‌های ماکسول پیش می‌آید، نتیجه را نمی‌توان با تغییر علامت سایر متغیّرها جبران کرد. چون راه‌حلّ‌ها نشان‌دهندۀ تفاوت ذاتی گذشته و آینده است، و از «جریان معیّن زمان» استفاده می‌شود – و البتّه به‌معنای جریان رویداد‌ها در زمان است. برای مثال، راه‌حلّ اوّلیّۀ معادلۀ (5.2) برای توزیع دما در سیمی نازک در امتداد محور x به صورت زیر است:
T-T_0=C/√t e^(-(cx^2/4κt) )
(5.3)
که انتشار و یک‌دست‌سازی دمای اولیّۀ بالایی را تشریح می‌کند که در آغاز در نزدیکی نقطۀ x=0 متمرکز شده بود، و آشکارا پدیده‌ای برگشت‌ناپذیر را تشریح می‌کند.
از تاریخچۀ فیزیک آن‌قدر نمی‌دانم که بفهمم چگونه این نظریّۀ رسانایی گرمایی با این عقیده سازگار شده که قوانین نهایی فیزیک از نوع قوانین برگشت‌پذیر نیوتونی است.
پیش از آنکه به راه‌حلّ این مسئله بپردازیم، برداشتن گام مهم دیگری ضروری است: کشف هم‌ارزی گرما با کار مکانیکی، یا به‌گفتۀ امروزی ما، قانون نخست ترمودینامیک. این نکته اهمیّت دارد که به یاد بیاوریم این کشف بسیار متأخّرتر از کشف موتور بخار بود. نه تنها توانستیم گرما را از راه کار مکانیکی (مثلاً از راه اصطکاک) تولید کنیم، بلکه از راه گرما (موتور بخار). این ویژگی تازه گزاره‌ای بود مبنی بر اینکه میزان مشخصی از گرما، همواره معادل میزانی مشخّص از کار مکانیکی است، یعنی «معادل مکانیکی» آن. رابرت مایر این قانون را، بر اساس شواهد اندک و غیرمستقیم، اعلام کرد، و نتایج نسبتاً خوبی دربارۀ برابری خواص شناخته‌شدۀ گازها به دست آورد، به‌عبارتی از تفاوت میزان گرمای لازم برای بالا‌بردن یک درجه دما، درصورتی‌که حجم آن ثابت بماند، یا به گاز امکان کار دربرابر فشار ثابت داده شود. ژول این مسئله را با آزمایش‌هایی نظام‌مند بررسی کرد، که نکتۀ اصلی را اثبات کرد، به‌عبارتی کار لازم برای انتقال نظامی در حالت تعادل به حالت دیگر، نه به فرایند اجرای کار، بلکه تنها به این دو حالت وابسته است. این محتوای واقعی قانون نخست است؛ تعیین مقدار عددی برابری مکانیکی، که در کتاب‌ها بارها بر آن تأکید شده، مسئلۀ فنّ فیزیک است. برای اینکه این مفاهیم برایمان روشن شود، اکنون باید به بنیان‌های منطقی و فلسفی نظریّۀ گرما باز گردیم.
مسئله در اینجا تبدیل تأثّرات حسّی ذهنی گرم و سرد به گزاره‌های اندازه‌پذیر عینی است. البته این گزاره‌ها، باز به‌نحوی با تأثیرات حسیّ مرتبط است. نمی‌توان ابزاری را خواند، بی‌آنکه به آن نگاه کنیم. امّا فرقی هست بین این نگاه‌کردن با نگاه‌کردن به دماسنجی که پرستاری با آن تب بیماری را اندازه می‌گیرد و درد حس داغ‌بودن که بیمار متوجّه آن است.
اصل کلی در علم این است که خود را تاحدّ امکان از کیفیّت‌های حسی برهانیم. امّا این هم غالباً بد فهم شده است، زیرا آن را به‌معنای حذف تأثرات حسّی انگاشته‌ایم، که مسلّماً بی‌معنی است. علم بر مشاهده و درنتیجه بر استفاده از حواس استوار است. مسئله حذف ویژگی‌های ذهنی و تنها حفظ گزاره‌هایی است که چند نفر بتوانند آن‌ها را به‌شیوه‌ای عینی تأیید کنند. این هم غیرممکن است که بتوانم به کسی این معنای گفته‌ام را توضیح دهم که «این شیء قرمز است» یا «این شیء گرم است». بیشترین‌ کاری که میتوانم انجام دهم این است که دریابم آیا سایرین هم همان شیء را قرمز یا گرم می‌دانند؟ هدف علم این است که رابطۀ نزدیک‌تری بین کلمات و واقعیّات ایجاد کند. روش علم یافتن همبستگی میان نوعی تأثرات حسّی ذهنی با دیگر تأثرات است؛ و این کار را با استفاده از یکی چون نشانگر در برابر دیگری می‌کند تا از این راه بتوان آن چه را که واقعیّت مشاهده می‌نامند، تعیین کرد.
در اینجا باز به متافیزیک سر زده‌ام. فیلسوف دست‌کم مدّعی می‌شود مطالعۀ کامل این اصول روش‌شناختی بیرون از حوزۀ فیزیک است. گمان می‌کنم این دستورالعملی است برای ما اهل علم، ‌مانند آنچه دربارۀ اصل نتیجه‌گیری استقرایی گفتیم، و در اینجا بیش از این به تحلیل آن درحال حاضر نخواهیم پرداخت.
در مورد پدیدۀ گرمایی، مسئله در تعیین مقادیر درگیر از راه تغییرات مشاهده‌پذیر عینی در اجسام مادّی است. به‌نظر می‌رسد برای این کار مفاهیم مکانیک، پیکربندی و نیرو، کرنش و تنش وافی به مقصود ماست، امّا قوانین مکانیک الزاماّ باید تغییر کند.
برای سادگی کار تنها نظام‌های سیّال را بررسی می‌کنیم، یعنی واسطه‌های پیوسته، که حالت‌های آن‌ها در تعادل تنها با یک مقدار تنهای کرنش، چگالی تعیین می‌شود، و به‌جای آن می‌توانیم، برای جرمی معیّن، تمامی حجم V را در نظر بگیریم. در اینجا تنها یک مقدار تنش، فشار p وجود دارد. از دیدگاه مکانیک، فشار درحال تعادل تابع معیّنی از حجم است، p=f(V).
امّا حالا تمامی این آزمایش‌ها که با احساس ذهنی گرم‌‌ترشدن یا سرد‌تر‌شدن سیّال مرتبط است، نشان می‌دهد این قانون مکانیک اشتباه است: فشار را می‌توان با حجم ثابت ازجمله با «گرم‌کردن» یا «سرد‌کردن» تغییر داد.
پس فشار p را می‌توان متغیر مستقّل p در کنار حجم V دانست، و این درست همان کاری است که ترمودینامیک انجام می‌دهد.
تعمیم به مواد پیچیده‌تر (مانند آن‌هایی که قطبش‌پذیری مغناطیسی یا صلبی دارد) آن‌قدر مسلّم می‌نماید که تنها به نمونۀ سیّال‌ها که با دو متغیّر مستقل ترمودینامیکی V,p مشخص می‌شود، اکتفا خواهم کرد. امّا لازم است به نظام‌های با چند سیّال هم توجّه داشت.چند کلمه‌ای هم باید دربارۀ انواع مختلف تماس بین آن‌ها بگویم.
برای مختصرکردن مطلب، فکر «جداره‌های» جداکنندۀ سیّال‌های مختلف را وارد می‌کنیم. فرض این است که این جداره‌ها آن‌قدر نازک است که هیچ اهمیّتی در تشریح رفتار فیزیکی نظام میان دو سیّال جز برهم‌کنش میان آن‌ها ندارد. فرض این است که هر دیواره‌ای بر مادّه نفوذناپذیر است هرچند در شیمی نظری از دیواره‌های نیمه‌نفوذپذیر به‌خوبی استفاده می‌شود. در اینجا دو نوع جداره مدّ نظر است.
یکی دیواره‌ای گرمابر که با این خصوصیّت تعریف می‌شود که تعادل جسمی که محصور در آن باشد، با هیچ فرایند بیرونی، تا زمانی که هیچ بخش از دیواره حرکت نکند، مختل نمی‌شود (نیروهای از فاصله در تمام مسئله به‌حساب نمی‌آید).
دو نکته را باید در اینجا گفت. نخست اینکه خاصیّت بی‌دررویی در اینجا بدون استفاده از مفهوم گرما تعریف شده است؛ این نکته‌ای اساسی است، زیرا چون هدف ما تعیین مفاهیم گرمایشی با عبارات مکانیکی بوده، نمی‌توان از آن‌ها در تعریف‌های اولیّه استفاده کرد. نکتۀ دوم این است که محفظۀ بی‌درروی یک نظام را می‌توان در عمل با درجۀ بالایی از تقریب محقّق کرد، مانند ظرف دوّار یا فلاسک ترموس. بدون این واقعیّت، استفاده از ترمودینامیک کاملاً غیرعملی است.
بیان معمول این موضوع‌ها، هرچند در تعریف آن‌ها تااندازه‌ای بی‌دقتی شده باشد، نمی‌تواند مانع فرض امکان انزوای گرمایشی نظام شود؛ بدون این فرض، هیچ گرماسنجی کار نمی‌کند و گرما را نمی‌توان اندازه گرفت.
نوع دوم جداره، همان جدارۀ گرمابر است که با خصوصیّت زیر تعریف می‌شود: اگر دو جسم با جدارۀ گرمابر از هم جدا شود، آن دو در تعادل حرارتی برای مقادیر دلخواه متغیّرهای p_1,V_1 و p_2,V_2 نخواهد بود. مگر آنکه رابطه معیّن میان این مقادیر چهارگانه به‌صورت زیر بر قرار باشد:
F(p_1,V_1,p_2,V_2 )=0 (5.4)
و این، درست بیان تماس گرمایی است؛ جداره هم تنها برای آن است که نشان دهیم تبادل مواد با یکدیگر ممکن نیست.
مفهوم دما بر این تجربه استوار است که دو جسم در تعادل گرمایی با یکدیگر، که با جسم سومی در تماس است، آن دو هم در تعادل گرمایی است. اگر (5.4) را به شکل کوتاه F(1,2)=0 بنویسیم، این خاصیّت تعادل را می‌توان این‌طور با سه معادله بیان کرد:
(5.5) F(2,3)=0,F(3,1)=0,F(1,2)= 0
هریک از این‌ دو معادله، معادلۀ سوم را دربر دارد. این کار تنها وقتی ممکن است که (5.4) به شکل زیر نوشته شود:
f_1 (p_1,V_1 )=f_2 (p_2,V_2 ) (5.6)
حالا می‌توان یکی از دو جسم، مثلاً جسم دوم را، دماسنج دانست و مقدار تابع را یعنی دمای تجربی را، این‌طور بنویسیم:
f_2 (p_2,V_2 )=ϑ (5.7)
درنتیجه برای جسم دیگر معادلۀ حالت را به‌این‌صورت داریم:
f_1 (p_1,V_1 )=ϑ (5.8)
هر تابع دلخواه دیگر از ϑ را می‌توان به‌درستی چون دمای تجربی اختیار کرد؛ انتخاب را تنها ملاحظات عملی محدود می‌کند. (و این هم عملی نخواهد بود از ماده‌ای چون دماسنج استفاده شود، زیرا دو حالت مشخّص در تعادل گرمایی است.) خم‌های ϑ=” const” در سطح pV مستقل از میزان دماست؛ آن‌ها را به‌این سبب تک‌دما می‌نامیم.
این کار هم بیهوده نیست تا بر اختیاری‌بودن کامل مقیاس دما پافشاری کنیم. هر خاصیّت مناسبی در هر ماده‌ای را می‌توان به‌جای نشانگر دماسنج گرفت، و درصورتی‌که چنین شود، باز هم مقیاس در اختیار ماست. برای مثال، چنانچه گازی را در فشار پایین انتخاب کنیم، به‌سبب سادگی قانون فشردگی تک‌دما، pV=” const” ، دلیلی ندارد که pV=ϑ را چون اندازۀ دما بگیریم: می‌توان (pV)^2 یا √(() pV) را حتّی انتخاب کرد. بنابراین، تعریف مقیاس «مطلق» دما، مسئله‌ای عاجل بود که با کشف قانون دوم ترمودینامیک حل شد.
اصل دوم ترمودینامیک، همان اصل گرما را می‌توان با عبارات مقادیر مکانیکی از راه تفسیر مناسب آزمایش‌های ژول تعریف کرد. همان‌طور که پیشتر گفتیم، جان کلام در این آزمایش‌ها این است: اگر جسمی در درون محفظه‌ای بی‌دررو از حالتی (تعادلی) به حالت تعادل دیگری با اعمال کاری در خارج از آن برده شود، مقدار این کار، به‌هرصورت (مکانیکی، برقی و غیره) و یا به‌هرنحو اعمال شود (آهسته یا تند، و مانند آن)، همواره یکسان خواهد بود.
پس در حالت اوّلیّۀ داده‌شد‌ۀ (p_0,V_0 )، کار بی‌درروی انجام‌شده، تابع U از حالت نهایی (p,V) است که می‌توان آن را این‌طور نوشت:
W=U-U_(0 ) (5.9)
تابع U(p,V) را انرژی نظام می‌خوانند. این انرژی مقداری اندازه‌پذیر است که به‌طور مستقیم با شیوههای مکانیکی تعیین می‌شود.
اگر حالا فرایند غیر‌بی‌دررویی را در نظر بگیریم که از حالت اوّلیّه‌ای (p_0,V_0 ) به حالت نهایی (p,V) می‌انجامد، اختلاف U-U_0-W صفر نخواهد بود، بلکه آن را درصورتی‌که تابع انرژی U(p,V) از آزمایش پیشین معلوم باشد، می‌توان تعیین کرد. این تفاوت:
U-U_0-W=Q (5.10)
را گرما می‌نامند که به نظام طی فرایند داده شده است. معادلۀ (5.10) تعریف گرما با عبارات مقادیر مکانیکی است.
این فرایند پیش‌فرضش این است که کار مکانیکی، هر زمان که اعمال شود، اندازه‌پذیر است. به‌این معنی، برای مثال، جابه‌جایی نیروها بر سطح چرخی درحال حرکت در درون یک سیال، یا جریان و مقاومت سیمی که سیّال را گرم می‌کند، باید برهم‌کنشش ثبت شود، هرچند این برهم‌کنش‌ها بخواهد تند باشد. این در عمل کاری دشوار است، و باید فرایندهای مانای نسبتاّ طولانی مدّت به‌کار برد، که در آن‌ها مراحل نامنظّم آغازین و پایانی را بتوان نادیده گرفت (ازجمله گرم‌شدن با جریانی مانا)، یا جریان‌های بسیار آهسته، «تقریباّ ایستا» را؛ این فرایندها به‌طور کلّی (در عمل) برگشت‌پذیر است، چون هیچ انرژی جنبشی‌ای تولید نمی‌شود که بتواند با اصطکاک به‌صورتی برگشت‌ناپذیر از بین برود. در ترمودینامیک معمول، هر خمی در صفحۀ pV را چون نمودار فرایندی برگشت‌پذیر می‌دانیم؛ به‌این معنی که به گرم‌شدن یا سردشدن با سرعت‌های بسیار کند اجازه می دهیم تا نظام را به تماس حرارتی با رشته‌ای از مخازن بزرگ گرمازا مرتبط کند که تفاوتی اندک با یکدیگر در دما دارد. چنین فرضی ساختگی است؛ و حتّی هیچ ربطی با آزمایشی واقعی ندارد. درعین‌حال زاید هم هست. می‌توانیم خود را به فرایندهای بی‌درروی تقریباّ ساکن محدود کنیم که بر حرکات کند دیواره‌های (بی‌دررو) استوار است. برای اینکه چنین کاری بر سیّالی انجام شود:

dW=-pdV (5.11)
که در آن p تعادل فشار است، و قضیّۀ نخست ترمودینامیک (5.10) صورت زیر را دارد:
dQ=dU+pdV=0 (5.12)
برای نظام سیّال‌هایی که با دیواره‌های بی‌دررو یا گرمابر جدا می‌شود، انرژی و کار انجام‌شده برهم افزوده می‌شود (بنا بر تعریف ما از جداره‌ها)؛ پس مثلاّ:
(5.13) dQ=dQ_1+dQ_2=dU+p_1 dV_1+p_2 dV_2 ,
که در آن U=U_1+U_2.
البتّه این معادله تنها به‌کار تماس حرارتی می‌آید که در آن معادلۀ (5.6) صادق است؛ نظام تنها دارای سه متغیّر مستقل بوده، و برای هریک:
V_1,V_2، و دمای ϑ را معادله‌های (5.7) و (5.8) تعریف کرده است. پس:
U_1=U_1 (V_1,ϑ),〖 U〗_2=U_2 (V_2,ϑ)، است و (5.13) به شکل زیر نوشته می‌شود:
dQ=((∂U_1)/(∂V_1 )+p_1 )dV_1+((∂U_2)/(∂V_2 )+p_2 )dV_2+((∂U_1)/∂ϑ+(∂U_2)/∂ϑ)dϑ=0
(5.14)
هر فرایند بی‌درروی تقریباً ساکنی را می‌توان با خطی درفضای سه بعدی V_1 V_2 ϑ” ” نشان داد که در این معادله صدق می‌کند. در اینجا آن را به‌اختصار «خطوط بی‌دررو» می‌نامیم.
معادله (5.14) معادلۀ دیفرانسیلی از نوعی است که فاف مطالعه کرده است. معادله‌های فافی بیان ریاضی تجربه‌های حرارتی اوّلیّه است، و از آن‌ها انتظار داریم که قوانین ترمودینامیک با خاصیّت‌های خود، باهم مرتبط باشد. آن‌طورکه کاراتئودوری نشان داده، این نکته درست است. امّا ترمودینامیک کلاسیک راه کاملًا متفاوتی را پیمود. در اینجا مفهوم ماشین‌های گرمایی آرمانی وارد شد که گرما را به کار و به‌عکس (ویلیام تامسون- لرد کلوین) تبدیل می‌کند، و یا گرما را از مخزنی به مخزن دیگری می‌مکد (کلاؤسیوس). پس قانون دوم ترمودینامیک از این فرض به‌دست آمده که همۀ فرایندهایی از این نوع ممکن نیست: نه‌ می‌توان گرما را به‌طور کامل به کار تبدیل کرد، و نه می‌توان گرما را از حالت دمایی پایین به حالت بالا‌تری «بدون جبران» (ضمیمۀ 6) رساند. این‌ها مفاهیمی تازه و غریب بود، که به‌روشنی از مهندسی اقتباس شده بود. پیشتر گفته بودم موتور بخار پیش از ترمودینامیک وجود داشت؛ این امر هم در آن زمان مسلّم بود تا از مفاهیم وتجربه‌های مهندسین برای دست‌یابی به قوانین تبدیل گرما، و استقرار مفاهیم انتزاعی آنتروپی و دمای مطلق به این روش استفاده شود که خود دستاورد بزرگی است. نمی‌توان احساس دیگری جز تحسین برای این مردان که چنین روشی را ابداع کردند، داشت. حتّی در دوران تحصیل، گمان می‌کردم آن‌ها از روش‌های معمول فیزیک منحرف شده‌اند؛ با دوست ریاضی‌دانم، کاراتئودوری، در‌بارۀ این مسئله بحث کردم و درنتیجه او به تحلیل آن پرداخت و راه‌حلّ رضایت‌بخش‌تری ارائه داد. چهل سال پیش این‌طور بود، امّا امروز هم این روش «کلاسیک» در همۀ کتاب‌های درسی گنجانده شده، و تقریباً یقین دارم که در اکثر درس‌ها چنین است – امّا چند استثناء را هم باید ذکر کنم، از‌جمله مورد ر.ه. فاؤلر فقید و مکتب او. این وضع را محافظه‌کاری ناسالم می‌دانم. به‌همین سبب در این درس‌ها فرصتی برای دفاع از تغییر می‌بینم.
نکتۀ اصلی شیوۀ کاراتئودوری ازاین قرار است. اصولی که کلوین و کلاؤسیوس از قانون دوم به‌دست آوردند، طوری صورت‌بندی شده که بیشترین فرایندها را که نمی‌توان درعمل اجرا کرد، پوشش دهد: گرما را نمی‌توان از هیچ راهی به‌طور کامل به کار تبدیل کرد یا به درجۀ بالاتری از دما رساند. کاراتئودوری متوجّه شد برای تعیین قانون دوم کافی است از وجود برخی فرایندهای غیرممکن مطلّع باشیم. لزومی ندارد بگویم این امتیازی منطقی است. به‌علاوه، فرایندهای غیرممکن را می‌توان از راه دقّت بیشتر در آزمایش‌های ژول به‌دست آورد. برای انجام این کار باید نظامی در محفظه‌ای بی‌دررو را، از حالت تعادل به حالت تعادل دیگری، با انجام کار بیرونی، ببریم: این آزمایشی ابتدایی است، و تقریباً آشکار که نمی‌توان با وارونه‌کردن فرایند، کار را دوباره به‌دست آورد. این وضع در نزدیکی آن دو حالت برقرار است. پس می‌توان گفت در هر همسایگی حالتی معلوم، حالت‌های دسترسی‌ناپذیر بی‌دررو وجود دارد. و این همان حکم کاراتئودوری است.
به‌طور اخص حالت‌های نزدیک ‌به ‌هم وجود دارد که به آن‌ها نمی‌توان از راه فرایندهای بی‌درروی تقریباً ساکن دسترسی پیدا کرد. این حالت‌ها را با خطوط بی‌دررویی نشان می‌دهیم که در معادلۀ فافی (5.14) صدق می‌کند. پس این سؤال مطرح می‌شود: آیا فرض کاراتئودوری برای هر معادلۀ فافی برقرار است یا به‌معنای محدودیّت است؟
مورد اخیر برقرار است، و با ریاضیات ساده‌ای می‌توان به آن پی برد، و من هم به‌اختصار آن را می‌گویم ( بنگرید به ضمیمۀ 7).
برای شروع در آغاز معادلۀ فافی را با دو متغیّر x و y در نظر می‌گیریم:
(5.15) dQ=Xdx+Ydy
که در آن X و Y توابعی از x و y است. این رابطه برابر با معادلۀ دیفرانسیل عادی زیر است:

(5.16) dy/dx=-X/Y
که دارای شمار بی‌نهایت راه‌حلّ است ϕ(x,y)=” const.” ، و درعین‌حال نشان‌دهندۀ مجموعه‌ای از خم‌های تک‌پارامتری در صفحۀ (y و x) است. در امتداد هریک از این خم‌ها:

(5.17) dϕ=∂ϕ/∂x dx+∂ϕ/∂y dy=0
را داریم که باید همان شرط موجود در معادلۀ فاف را داشته باشد؛ پس باید:
(5.18) dQ=λdϕ
را داشته باشیم. هریک از dQ فافی با دو متغیّر درنتیجه دارای «مقسوم‌علیه انتگرالی» λ است، به‌طوری‌که dQ/λ دیفرانسیل کامل است.
برای معادله‌های فافی با سه متغیّر (یا بیشتر):
(5.19) dQ=Xdx+Ydy+Zdz
این امر صادق نیست. این کار هم آسان است تا نمونه‌های تحلیلی ارائه دهیم (ضمیمۀ 7)؛ می‌توان آن را به‌طور هندسی چنین دید: چنانچه در (5.19) dx,dy,dz را اختلاف پایان‌دار بدانیم، پس معادلۀ سطحی را داریم که از نقطۀ ξ-x,η-y,ζ-z می‌گذرد؛ پس در هر نقطۀ فضا x,y,z، سطحی داریم که پیوسته جهتش نسبت به مکان این نقطه تغییر می‌کند. حال اگر تابع ϕ وجود داشته باشد، این صفحه‌ها باید بر ϕ(x,y,z)=” const.” مماس باشد. می‌توان پیوسته مجموعه‌ای تغییریابنده از سطوح را ساخت که «انتگرال‌پذیر» نیست، یعنی مماس بر مجموعه‌ای از سطوح است. برای مثال پیچ‌های مدور با یک محور را در نظر بگیرید، که شعاع و گام‌های متغیر دارد، و در هر نقطۀ آن، سطح عمود بر آن را بسازید. این سطوح آشکارا مجموعه‌ای از صفحه‌هایی را می‌سازد که انتگرال‌پذیر نیست.
پس معادله‌های فافی را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد: آنهایی که شکل dQ=λdϕ را دارد و «مقسوم‌علیه انتگرالی» دارد، و نشان‌دهندۀ سطوح مماس از مجموعۀ سطوح ϕ=” const.” است؛ دستۀ دوم آنهایی است که این خاصیّت را ندارد.
در مورد نخست dQ=λdϕ، هر خطی که در معادلۀ فافی (5.19) صدق کند، باید روی سطح ϕ=” const ” قرار داشته باشد. پس زوجی دلخواه از نقاط P_0 و P در فضای xyz را نمی‌توان با چنین خطی به یکدیگر وصل کرد. این امر کاملاً آشکار است. امّا همین مطلب در گزارۀ معکوس، که در ترمودینامیک به‌کار می‌رود، چندان واضح نیست: اگر نقاط P در همسایگی نقطۀ معلوم P_0 باشد، که نتوان آن‌ها را به P_0 با خطی وصل کرد که در معادلۀ فافی (5.19) صدق کند، دراین‌صورت مقسوم‌‌علیه انتگرالی وجود دارد و در آنجا dQ=λdϕ است.
با نظر به پیوستگی، می‌توان این قضیّه را به‌ناگهان دریافت. همۀ نقاط در P، که از P_0 در دسترس نباشد، حجمی را، محصور با سطحی از نقاط دست‌یافتنی که از P_0 می‌‌‌گذرد، تشکیل می‌دهد. فراتر از آن اینکه در برابر هر نقطۀ دسترسی‌نیافتنی، نقطۀ دیگری در جهت عکس وجود دارد؛ پس سطح کرانی باید شامل همۀ نقاط دست‌یافتنی باشد. این نکته وجود تابع ϕ را اثبات می‌کند، به‌طوری‌که dQ=λdϕ خواهد بود (ضمیمۀ 7).
استفاده از این قضیّه درترمودینامیک حالا ساده خواهد بود. با ادغام آن با اصل کاراتئودوری برای هر دو نظام خواهیم داشت:
(5.20) dQ_1=λ_1 dϕ_(1 ),dQ_2=λ_2 dϕ_2
و برای دو نظام ادغام شده:
(5.21) dQ=dQ_1+dQ_2=λdϕ
پس:
(5.22) λdϕ=λ_1 dϕ_1+λ_2 dϕ_2
امّا حالا به‌خصوص دو سیّال ساده را در تماس حرارتی با یکدیگر در نظر بگیرید؛ در این وضع نظام سه متغیّر مستقّل V_1,V_2,ϑ دارد، که می‌تواند با ϕ_1,ϕ_2,ϑ جایگزین شود. رابطۀ (5.22) نشان می‌دهد که ϕ تنها به ϕ_1,ϕ_2, وابسته است و نه به ϑ، و چون:

(5.23) ∂ϕ/(∂ϕ_1 )=λ_1/λ ,∂ϕ/(∂ϕ_2 )=λ_2/λ
پس این نسبت‌ها هم از λ استقلال دارد:
∂/∂ϑ λ_1/λ=0 ,∂/∂ϑ λ_2/λ=0
که از آن‌ها می‌توان نتیجه گرفت:

(5.24) 1/λ_1 (∂λ_1)/∂ϑ=1/λ_2 (∂λ_2)/∂ϑ=1/λ ∂λ/∂ϑ .
حالا که λ_1 متغیری فقط برای سیّال اول است، پس تنها به ϕ_1 و ϑ وابسته است؛ و به همین‌طریق λ_2=λ_2 (ϕ_2,ϑ). تساوی (5.24) تنها زمانی درست است که دو مقدار به ϑ وابسته باشد. پس:

(5.25) (∂log⁡λ_1)/∂ϑ=(∂log⁡λ_2)/∂ϑ=(∂log⁡λ)/∂ϑ=g(ϑ)
که در آن g(ϑ) تابعی عمومی است، به‌عبارتی از نظر عددی برای سیال‌های مختلف و نظام‌ ترکیبی یکسان است.
این توّجّه ساده با ریاضیاتی ساده، خبر از وجود تابع عمومی دما می‌دهد. آنچه مانده، موضوع بهنجارسازی است. از (5.25) برای هر نظامی می‌توان:
(5.26) log⁡λ=∫g(ϑ)dϑ+log⁡〖Φ 〗,….λ=Φe∫g(ϑ)dϑ
را یافت که در آن Φ به ϕ متناظر خود وابسته است.
چنانچه اکنون آن را این‌طور تعریف کنیم:

(5.27) ├ █(&T(ϑ)=Ce∫g(θ)dϑ @&S(ϕ)=1/C∫Φ(ϕ)dϕ)}
که در آن ثابت C را بتوان با مقادیر T_1-T_2 برای دو حالت تکرارپذیر مادّه‌ای معمولی تعیین کرد، (برای مثال T_1-T_2=100^∘ باشد، یعنی T_1 نقطۀ جوش باشد، و T_2 نقطۀ انجماد آب در فشار یک اتمسفر)، در آن‌صورت:
(5.28) dQ=λdϕ=TdS
می‌باشد، که در آن T دمای ترمودینامیکی یا دمای مطلق و S آنتروپی خواهد بود.
معادلۀ (5.28) تنها به فرایندهای شبه‌ساکن اشاره دارد، یعنی به دنبالۀ حالت‌های تعادل. برای به‌دست‌آوردن نتیجه‌ای از پدیده‌ای به‌واقع دینامیکی، باید اصل کاراتئودوری را دوباره به‌کار بگیریم، یعنی گذار معیّن از حالت اوّلیّه V_1^0,V_2^0,S^0 به حالت پایانی V_1,V_2,S. به این حالت پایانی می‌توان در دو مرحله رسید: نخست با تغییر حجم شبه‌ساکن (و بی‌دررو) از V_1^0,V_2^0 به V_1,V_2، درحالی‌که آنتروپی ثابت و برابر با S^0 باشد، و سپس تغییر به حالت بی‌دررو، امّا برگشت‌ناپذیر (با به‌هم‌زدن و غیره) در حجم ثابت، تا اینکه S^0 به داخل S برود.
اکنون اگر بتوان به مقدار همسایۀ S از S^0 دست یافت، در‌این‌صورت با تضادی در اصل کاراتئودوری مواجه می‌شویم، زیرا مسّلماً می‌توان حجم را به‌دلخواه تغییر داد. پس برای هر فرایندی باید S⩾S^0 یا S⩽S^0 باشد. پیوستگی خواهان آن است تا همان علامت برای همۀ حالات اوّلیّه صادق باشد؛ این نکته دربارۀ مواد دیگر نیز درست است، زیرا آنتروپی هم‌افزاست (به‌آسانی می‌توان آن را مشاهده کرد). علامت فعلی ⩾ یا ⩽، به انتخاب ثابت C در (5.27) وابسته است؛ اگر انتخاب ما این‌طور باشد که T مثبت باشد، تنها یک آزمایش، مثلاً با گازی، نشان می‌دهد آنتروپی هرگز کاهش نمی‌یابد.
شاید هم بیراه نباشد که در اینجا چند کلمه‌ای از رفتار آنتروپی دربارۀ رسانایی گرمایی بگوییم. چون ترمودینامیک کارش این است که به فرایندهایی بپردازد که در آن‌ها حالت اوّلیّه و حالت انتهایی درحال تعادل است، به جریان ایستا نمی‌توان پرداخت: این سؤال پیش می‌آید حالت نهایی دو جسمی که در آغاز از هم جدا بود، و حالا در تماس گرمایی است، چگونه است؟ دشواری این کار این است که تغییری در آنتروپی فقط از راه فرایندهای بی‌در‌رو شبه‌ساکن معیّن می‌شود؛ تغییر ناگهانی از انزوای گرمایی به تماس باهم، درهمه‌حال ناپیوسته است و فرایند درون نظام مهارنشدنی. بااین‌همه می‌توان این فرایند را به فرایندی که پیشتر از آن گفتیم تقلیل داد. با تغییرهای بی‌دررو شبه‌ساکن درحجم، دما را می‌توان یکسان کرد، بی آنکه تغییری در آنتروپی ایجاد شود؛ زیرا تماس را می‌توان بدون ناپیوستگی انجام داد، و حجم‌ اولیّۀ شبه‌ساکن را باز گرداند – و این کار بازهم بدون تغییر در آنتروپی. وضع اکنون مشابه وضع اولیّۀ پیشین است، و از آن، این نتیجه حاصل می‌شود که هر فرایندی که به حالت نهایی بینجامد، باید آنتروپی را افزایش دهد.
تمامی زنجیرۀ ملاحظات بالا را می‌توان بدون دشواری به فرایندهای پیچیده‌تر تعمیم داد. تنها باید این‌طور فرض کنیم که همۀ متغیّرهای مستقلّ به‌جز یکی، از نوع متغیّرهایی است که با حجم نشان داده می‌شود، و به‌عبارتی به‌دلخواه تغییرپذیر است.
اگر مانند آنچه در شیمی پیش می‌آید، با موادی سروکار داشته باشیم که از ترکیب‌های مختلف درست شده باشد، می‌توان به غلظت این ترکیب‌ها چون متغیری دلخواه نگریست، مثلاً به کمک دیواره‌های نیمه‌نفوذپذیر و پیستون‌های متحرّک ( ضمیمۀ 8).
استفاده از ترمودینامیک سبب شد تا دانشی گسترده‌ نه تنها در فیزیک، بلکه در علوم مرزی شیمی-فیزیک، صنعت فلز، کانی‌شناسی و غیره انباشته شود. بیشتر آن‌ها به تعادل اشاره دارد. در عمل، اصطلاح «ترمودینامیک» گمراه‌کننده است. تنها گزاره‌های دینامیکی ممکن، آن‌هایی است که به گذار برگشت‌ناپذیر از حالتی تعادلی به حالت دیگری مربوط است و خصلت چندان پرجنب‌وجوشی ندارد و سبب افزایش کل آنتروپی یا کاهش انرژی آزاد F=U-TS می‌شود. فرایند برگشت‌ناپذیر، خود از حیطۀ ترمودینامیک خارج است.
اصل تقّدم در اینجا صادق است؛ امّا این سود به‌قیمت از دست‌رفتن همۀ جزئیّات تشریحی است که دینامیک معمول واسطه‌های پیوسته فراهم می‌آورد.
آیا این خسارت جبران‌ناپذیر است؟ چرا نباید روش‌های کوشی را به فرایندهای حرارتی اعمال کنیم، آن هم با درنظرگرفتن هر جزء حجمی چون نظام ترمودینامیکی کوچک، و با ملاحظۀ نه تنها تنش، کرنش و انرژی، بلکه دما و آنتروپی چون توابع پیوسته در فضا؟ این کار هرچند انجام شده، موفقیّت چندانی با خود همراه نداشت. دلیل این است که ترمودینامیک به‌قطع با دیواره‌ها یا جداره‌ها مرتبط است. ما از انواع آن‌ها از بی‌دررو و گرمابر استفاده کردیم، و دیواره‌های نیمه‌نفوذ‌پذیر ضروری را در جداسازی شیمیایی ذکر کردیم؛ امّا جزء حجمی را دیواره احاطه نمی‌کند، بلکه در تماس آزاد با اطراف خود است. بنابراین تغییر ترمودینامیکی وارد بر آن، به جریان انرژی و مواد تشکیل‌دهنده‌ای وابسته است که از این مرز عبور می‌کند، که خود آن‌ها را نمی‌توان به مکانیک فروکاست. در برخی موارد اندک، به راه‌حل‌های ساده دست یافتیم. برای مثال، برای محاسبۀ سرعت صوت درون گاز، در آغاز کوشیدیم رابطۀ میان فشار p و چگالی ρ قانون تک‌دمایی p=cρ را بیابیم که در آن c یک ثابت است، امّا میان آزمایش و قانون چندان موافقتی نیافتیم؛ سپس قانون بی‌دررو p=cρ^γ را به‌کار گرفتیم، که در آن γ نسبت گرمای ویژه در فشار ثابت و حجم ثابت بود (ضمیمۀ 9)، و با این کار نتیجۀ بهتری به‌دست آمد. دلیل آن هم این است که در ارتعاش سریع زمان برای گرما وجود ندارد تا از مرز جزء حجمی مواد جریان یابد، گویی طوری رفتار می‌کند که در محدودۀ بی‌دررو محصور است. امّا با کاهش تدریجی ارتعاش، مسلماً به حوزه‌ای وارد می‌شویم که این فرض دیگر صادق نیست. پس باید به رسانایی گرما توجّه کرد. به معادله‌های هیدرودینامیکی و معادله‌های رسانایی حرارتی باید درعین‌حال چون نظامی هم‌زمان نگریسته شود. به‌این‌ترتیب، نظریّۀ پدیدارشناختی را می‌توان گسترش داد، کاری که انجام شده است. امّا من هنوز نمی‌توانم آن را ارائه دهم، چون هیچ‌گاه آن را مطالعه نکرده‌ام؛ و بیشتر فیزیک‌دانان هم علاقه‌ای به این کار ندارند. امّا می‌دانیم که هر نوع شار ماده و انرژی را می‌توان در داخل طرح کلی کوشی گنجاند، و علاقۀ چندانی هم به انجام آن به‌روش‌های معمول نیست. به‌علاوه، هر اثری نیاز به ثابت جداگانه دارد – برای مثال در تراکم‌پذیری سیّال‌ها، گرمای ویژه، رسانایی گرما، ثابت‌های انتشار؛ و نیز در مواد صلب کشسان، ثابت‌ها و پارامترهایی که جریان موم‌سان و غیره را، تشریح می‌کند، و در بسیاری از اوقات این به‌اصطلاح ثابت‌ها هم نشان می‌دهد که چندان ثابت هم نیست، بلکه وابسته به سایر مقادیر است (ضمیمۀ 10).
بنابراین می‌توان به‌حق گفت که با ترمودینامیک معمول، روش تشریحی فیزیک به پایان طبیعی خود رسیده است و باید چیزی نو پدیدار می‌شد.

فصل ششم
تصادف
نظریّۀ جنبشی گازها
چرخش تازه در فیزیک، ورود اتم‌گرایی و آمار در این رشتۀ علمی بود.
هدف این درس دنبال‌کردن تاریخچۀ اتم در گذشتۀ دور نیست. می‌توان یقین داشت که از زمان دموکریت، هر فرد دانش‌آموخته‌ای، با فرضیّۀ ماده آشنا بود که از ذرّات نهایی و تقسیم‌نشدنی درست شده بود. این فرضیّه در زمان مناسبی دوباره زنده شد. لرد کلوین مکرّر از کشیش بوسکوویچ، مانند یکی از اولیّن کسانی یاد می‌کند که از تأمّلات اتم‌گرایانۀ خود در حلّ مسائل فیزیکی استفاده می‌کرد؛ بوسکوویچ در سدۀ هجدهم زندگی می‌کرد، و بسیاری دیگر هم بودند که همان افکار را در سر داشتند، امّا من آن‌ها را نمی‌شناسم. از اتم‌گرایی نخستین بار به‌صورتی نظام‌مند در شیمی استفاده شد، یعنی در جایی که فروکاستن مواد بی‌شمار به ذخیره‌ای نسبتاً کوچک از عناصر ممکن شد. فیزیک با تأخیری چشم‌گیر به آن پرداخت، زیرا اتم‌گرایی به‌خودی‌خود از فکر بنیادین دیگری، به‌عبارتی اینکه خواص مشهود ماده کیفیّت ذاتی کوچک‌ترین قسمت‌های آن نیست، بلکه به‌طور میانگین بر اساس قوانین تصادف توزیع شده است، استفادۀ چندانی نکرد.
نظریّۀ احتمال، که این قوانین را بیان می‌کند، بسیار قدیمی‌تر است؛ این نظریّه از نیاز علوم طبیعی بیرون نیامده، بلکه از قمار و فعالیّت‌های کم‌وبیش انسانی نشأت گرفته که چندان هم پسندیده نبود.
برای نخستین بار، گاوس در نظریّۀ اشتباهات تجربی خود در علم، استفاده از احتمالات را در نظر گرفت. گمان می‌کنم هر عالمی با ‌کلیّات آن آشناست، بااین‌حال باید کمی به آن بپردازم، زیرا جنبه‌ای اساسی و تااندازه‌ای متضاد دربر دارد. این نظریّه اثری مستقیم بر روش استنتاج ار راه استقرا دارد که خود ستون فقرات هر تجربۀ انسانی است. پیشتر گفتم که به عقیدۀ من اهمیّت این روش در برقراری مجموعه‌ای از قواعد است که خود علم را تشکیل می‌دهد. امّا اکنون این وضع غریب زمانی بروز می‌کند که این مجموعه از قواعد، که امکان وجود قوانین علمی را تضمین می‌کند، به‌ویژه رابطۀ علّت و معلول، علاوه بر آنکه درنظرگرفتن بسیاری از اشتباهات مشاهده را تجویز می‌کند، شاخه‌ای از نظریّه احتمالات را هم دربر دارد. این نشان می‌دهد که مفهوم تصادف نخستین گام را در فعّالیّت‌های علمی به این دلیل برداشته است که هیچ مشاهده‌ای به‌طور مطلق درست نیست. گمان می‌کنم تصادف مفهومی اساسی‌تر از علیّت است؛ زیرا اینکه درموردی مشخّص، رابطۀ علت-معلول استوار می‌ماند یا خیر، تنها با استفاده از قوانین تصادف در مشاهده، می‌توان درباره‌اش قضاوت کرد.
تاریخچۀ علم نشان از گرایشی بسیار قوی به فراموش‌کردن دارد. هنگامی که نظریّه‌ای علمی به‌درستی استقرار می‌یابد و تأیید می‌شود، خصلتش عوض می‌شود و بخشی از پس‌زمینۀ متافیزیکی دوران خود می‌شود: آموزه‌ای به اصلی جزمی بدل می‌شود. درواقع هیچ آموزۀ علمی‌ای ارزشی بیش از احتمال ندارد و با تجربه‌ای نو می‌تواند تغییر کند.
پس از این یادآوری کلّی، به این پرسش باز می‌گردیم که چگونه مفهوم تصادف و احتمال به خود فیزیک وارد شد.
در سال 1738 دانیل برنولی پیشنهاد داد فشار گاز را همان اثر برخورد ذرّات بی‌شمار گاز بر دیوارۀ مخزن تفسیر کنیم. گسترش کنونی نظریّۀ گازها، بسیار پس از آن، یعنی در قرن نوزدهم صورت گرفت.
موضوع این نظریّه تبیین خصوصیّت مکانیکی و ترمودینامیکی گاز با درنظرگرفتن رفتار میانگین مولکول‌ها بود. برای این منظور فرضیّه‌ای آماری درست شد، که غالباً آن را «اصل بی‌نظمی مولکولی» می‌نامیم: برای هر گاز «کاملی» در مخزنی بسته و در نبود نیروهای بیرونی، همۀ موقعیّت‌ها و همۀ جهات سرعت مولکول‌ها به یک اندازه محتمل است.

کاربرد این فرضیّه به گازی تک‌اتمی (فرض این است که اتم نقطۀ جرمی است)، یک‌سره به رابطه‌ای میان حجم V، و فشار p، می‌انجامد، و انرژی میانگین U (ضمیمۀ 11) برابر با:

(6.1) Vp=2/3 U
خواهد بود، اگر فشار p را چون تکانۀ کلّی بدانیم که به دیواره با اصابت مولکول‌ها وارد می‌شود. اکنون فقط می‌توانیم فرض کنیم که انرژی U، مقیاس دماست تا به قانون بویل تک‌دمایی برسیم. امّا از ترمودینامیک این نتیجه به‌دست می‌آید که U متناسب با دمای مطلق است (ضمیمۀ 9)؛ پس داریم:

(6.2) U=8/2 RT ,pV=RT
که در آن R ثابت عادی گاز است. این معادلۀ کامل حالت (قانون ترکیبی بویل-چارلز) است، و مشاهده می‌کنیم گرمای ویژۀ گاز تک‌اتمی برای حجم ثابت، برابر با3/2 R است.
این نکات را به‌این‌علّت ذکر کردم تا تأکید کنم که نظریّۀ جنبشی از همان ابتدا نتایج عددی تأییدپذیر بسیاری به دست داد. دیگر تردیدی در درست‌بودن آن نبود؛ امّا این درواقع به چه معنایی است؟
چگونه ممکن است ملاحظات احتمالات را بی‌‌‌کشمکش بر قوانین جبری مکانیک سوار کرد؟
این قوانین حالت در زمان t را، به حالت اوّلیّۀ t_0، با معادله‌هایی مشخّص متّصل می‌کند. امّا محدودیّتی بر وضعیّت اصلی اعمال نمی‌کند. این امر را باید در هر مورد واقعی با مشاهده تعیین کرد. امّا مشاهده به‌طور مطلق درست نیست؛ نتایج اندازه‌گیری بنا بر قواعد اشتباه‌های تجربی گاوس دچار پراکندگی می‌شود. درمورد مولکول‌های گاز، وضع وخیم‌تر است؛ چون به‌دلیل کوچکی و شمار بی‌حدّ مولکول‌ها، می‌توان حالت اوّلیّه را کاملاً نادیده گرفت.
تنها موارد شناخته‌شده، محدودیّت‌ هندسی جای هر مولکول بر دیوارۀ ظرف است، و برخی مقادیر فیزیکی با طبیعتی سرکش، مانند برآیند فشار و انرژی کلّ: البتّه به‌میزان بسیار کم در قیاس با شمار مولکول‌ها ( تقریباً 1019 در هر سی‌سی).
پس حق داریم ملاحظات احتمالات را درمورد حالت اولیّه، مانند فرضیّۀ بی‌نظمی مولکولی به‌کار ببندیم. بنابراین رفتار آماری هر حالتی در آینده را، قوانین مکانیک به‌طور کامل معیّن می‌کند. اگر خصوصیّات دیده‌شدنی مستقل از زمان باشد، «تعادل آماری» به‌خصوص از این نوع است؛ در چنین موردی، هر حالت بعدی الزاماً دارای همان خواص آماری حالت اوّلیّه (برای مثال باید هم در شرط بی‌نظمی مولکولی صدق کند) است. چگونه می‌توان این را ازنظر ریاضی بیان کرد؟ استفاده از معادله‌های حرکت همیلتون به‌صورت بندادی (4.3) در اینجا مناسب است. پراکندگی را تابع f(t,q_1,q_2,…,q_n,p_1,p_2,…,p_n ) از همۀ مختصّات، تکانه‌ها، و زمان تشریح می‌کند، به‌طوری‌که fdpdq احتمال یافتن نظام در زمان t در جزء معلوم dpdq=dp_1…dp_n dq_1…dq_n است. می‌توان این ثابت را چگالی سیّالی در فضای 2n بعدی فضای pq دانست، که آن را «فضای فاز» می‌نامیم؛ و چون ذرات نباید ناپدید و یا تولید شود، این سیّال باید در معادلۀ پیوستگی از نوع (4.5( بگنجد، که برای 2n بعد تعمیم داده شده است (ضمیمۀ 3):

(6.3) ∂f/∂t+∑_k▒  (∂(fq ̇_k )/(∂q_k )+∂(fp ̇_k )/(∂p_k ))=0
این معادله باتوجّه‌به معادله‌های بندادی ( 4.3) به‌صورت زیر خواهد بود:

(6.4) ∂f/∂t-[H,f]=0
که در آن [H,f] یک اختصار است، و آن را کروشۀ پواسون می‌نامند، به‌عبارتی:

(5.6) [H,f]=∑_k▒  (∂H/(∂q_k ) ∂f/(∂p_k )-∂H/(∂p_k ) ∂f/(∂q_k ))
از‌سوی دیگر، مشتق هم‌‌رفت که برای سه بعد در (4.11) تعریف شده، می‌تواند برای 2n بعد تعمیم داده شود، پس:

(6.6) df/dt=∂f/∂t+∑_k▒  (∂f/(∂q_k ) q ˙_k+∂f/(∂p_k ) p ˙_k )
دراین‌صورت (6.4) باتوجّه‌به معادله‌های مکانیکی، به‌صورت زیر خواهد بود:

(7.6) df/dt=0
نتیجۀ به‌دست‌آمده از معادله‌های هم‌ارز (6.4) و (6.7) را قضیّۀ لیوویل می‌خوانند. تابع چگالی انتگرال معادله‌های بندادی است، یعنی f=” const ” است، در هر مسیری در فضای فاز؛ به‌عبارت دیگر، مادۀ سیّال در جهت حرکت در فضای فازی حمل می‌شود، به‌طوری‌که انتگرال:

(8.6) I=∫_E▒  fdpdq
در هر قسمت از ماده، که در حرکت در فضای فاز است، مستقلّ از زمان است.
هر تابع پراکندگی پذیرفتنی، به عبارتی تابعی که احتمالات پیکربندی برای آن در زمان‌های مختلف با قوانین جبرگرای مکانیک سازگاری دارد، باید انتگرالی از حرکت باشد، که در معادلۀ دیفرانسیل با مشتقّات جزئی (6.4) صدق می‌کند. در نظامی بسته، یعنی نظامی که از اختلال بیرونی (مانند گازی در ظرفی صلب) در امان باشد، H به‌صراحت مستقل از زمان است. مورد ویژۀ تعادل آماری متناظر با برخی راه‌حلّ‌های مستقل از زمان (6.4) است، یعنی تابع‌های f در این رابطه صدق می‌کند:
(9.6) [H,f]=0
انتگرال آشکار این معادله f=Φ(H) است، که در آن Φ اشاره به تابعی دلخواه دارد. این مورد اهمیّت زیادی در مکانیک آماری دارد.
بااین‌همه، پیش از ادامه به این ملاحظات کلّی، بهتر است به گازهای کامل باز گردیم و با جزئیّات بیشتر به فرضیّۀ جنبشی بپردازیم. در گازی کامل، فرض این است که ذرات (اتم‌ها، مولکول‌ها) حرکتی مستقل از یکدیگر دارد. پس تابع f(p,q) حاصل N تابع f(x,ξ,t) است، که هریک به ذره‌ای واحد تعلّق دارد و همه صورتی یکسان دارد؛ x بردار مکان است و ξ=(1/m) بردار سرعت. پس fdxdξ احتمال یافتن ذره‌ای در زمان t در درون جزء حجمی و سرعت است.
هنگامی‌که هیچ نیروی خارجی نباشد، یعنی (∂H/∂t=0 و∂H/∂x=0) برقرار است، معادلات همیلتون به انرژی جنبشی تقلیل می‌یابد:
H=1/2 mξ^2=(1/2m)p^2
فرضیّۀ پراکندگی مولکولی با این فرض بیان شده است که f تنها تابعی از ξ^2 باشد. این البتّه راه‌حلی از (6.9) است، زیرا آن را می‌توان همان‌گونه که پیشتر گفتیم به صورت f=Φ(H) نوشت. در‌صورتی‌که گاز چون یک کلّ، همگن و همسان‌گرد باشد (یعنی همّ مکان‌ها وجهت‌ها ازنظر فیزیکی هم‌ارز باشد، ضمیمۀ 12) راه‌حلّ دیگری وجود ندارد.
ماکسول تعیین تابع توزیع سرعت را f(ξ^2 ) چون مسئلۀ اساسی نظریّۀ جنبشی دانست: دراین مورد، صورت‌بندی کمّی «قانون تصادف» به‌میان می‌آید. او چندین راه‌حلّ ارائه داد؛ اوّلین و ساده‌ترین دلیل او این بود: فرض کنید سه مؤلّفۀ سرعت ξ_1,ξ_2,ξ_3 از نظر آماری استقلالی رضایت‌بخش داشته باشد، پس:
(10.6) f(ξ^2 )=f(ξ_1^2+ξ_2^2+ξ_3^2 )=ϕ(ξ_1^2 )ϕ(ξ_2^2 )ϕ(ξ_3^2 )
این معادلۀ تابعی تنها راه‌حلّ زیر را دارد (ضمیمۀ 13):

(11.6) ■(ϕ=e^(α-βξ^2 )@f=e^(3α-β(ξ_1^2+ξ_2^3+ξ_3^3 ) ) )
که در آن α,β مقادیر ثابت است.
این است قانون پر‌آوازۀ توزیع سرعت ماکسول. امّا مشتقّ به‌دست‌آمده از آن، جای اعتراض دارد، زیرا استقلال مؤلّفه‌های مفروض سرعت اصلاً آشکار نیست. این نکته را به‌این‌سبب ذکر کردم که آخرین دلیل (که گمان می‌کنم رضایت‌بخش‌ترین، دقیق‌ترین و گسترده‌ترین امکان در تعمیم آن است) فرمول توزیع، درست از دلیل ماکسول استفاده می‌کند، که تنها درمورد متغیّر‌های مناسب‌تر کاربرد دارد – آن‌طور‌که در اینجا می‌بینیم.
ماکسول که خود به این ضعف آگاهی داشت، چندین دلیل دیگر ارائه داد، که دیگران آن‌ها را بهبود و تغییر دادند. احتمالاً به نظر می‌رسد استدلال اصلی دو نوع باشد: دلیل تعادل و دلیل دینامیکی. دلیل تعادل را با جزئیّاتی در نظر خواهیم گرفت.
فرض کنیم هر مولکولی، نظامی مکانیکی با مختصات 〖 q〗_1,q_2,…و تکانۀ p_1,p_2,…, باشد، که برای آن به‌سادگی می‌توان q,p با همیلتونیH(p,q) نوشت. برهم‌کنش میان مولکول‌ها را نادیده می‌گیریم. شمار کلّ n و انرژی کلّ U از جمع مولکول‌ها مشخّص است.
برای اینکه قانون احتمالات را درمورد آن به‌کار بندیم، بهتر است مجموعۀ پیوسته از نقاط p,q در فضای فازی را به مجموعۀ ناپیوستۀ شمارش‌پذیر عناصر حجمی تقلیل دهیم. برای این کار فضای فازی را به N سلّول حجمی کوچک ω_1 V,ω_2 V,…,ω_N V تقسیم می‌کنیم که در آن V حجم کلّ است؛ پس:
(12.6) ω_1+ω_2+⋯+ω_N=1
به هر سلّول مقدار انرژی H(p,q) را می‌توان داد، مثلاً به مرکز آن؛ این انرژی‌ها را با ϵ_1,ϵ_2,…,ϵ_N نشان می‌دهیم. حال فرض کنیم این ذرات روی سلّول‌ها طوری توزیع شده به‌طوری‌که n_1 اوّلین سلّول، n_2 دومین، و مانند آن باشد، و مسلّماً با این محدودیت که مجموع:
(13.6) n_1+n_2+⋯+n_N=n
(14.6) n_1 ϵ_1+n_2 ϵ_2+⋯+n_N ϵ_N=U
آن‌ها مشخص باشد. قضّیۀ لیوویل پیشنهاد می‌کند که احتمال بودن مولکولی تنها در سلّول معینّی متناسب با حجم آن است. با چنین فرضی باید جمع احتمال P را برای هر توزیعی n_1,n_2,…,n_N با درنظر‌گرفتن محدودیّت‌های (6.13) و (6.14) محاسبه کرد.
این مسئله‌ای پیش‌پا‌افتاده در محاسبۀ احتمال است (ضمیمۀ 14) که می‌توان آن را به‌این‌شیوه حل کرد: در ابتدا از شرط دوم (6.14) چشم‌پوشی می‌کنیم، احتمال توزیع معین n_1,n_2,…,n_N این‌طور است:

(15.6) P(n_1,n_2,…,n_N )=n!/(n_1 !n_2 !…n_N !) ω_1^(n_1 ) ω_2^(n_2 ),…ω_N^(n_N )
چنانچه این مجموع همۀ n_1,n_2,…,n_N را دربر بگیرد که در (6.13) صدق می‌کند، قضیّۀ چند‌جمله‌ای اوّلیّۀ زیر به‌دست می‌آید:

(16.6) ∑_(n_1,n_3,…,n_N)▒  P(n_1,n_2,…,n_N )=(ω_1+ω_2+⋯+ω_N )^n=1
که به‌سبب (6.12) است – و چنین هم باید باشد، اگر P احتمال درست بهنجارشده باشد.
به‌خوبی می‌دانیم که ضریب‌های چندجمله‌ای n!/n_1 !n_2 !…n_N ! ماکزیمومی بالا برای n_1=n_2=⋯=n_N دارد؛ این به‌معنای آن است که اگر سلّول‌ها حجم برابر داشته باشد (ω_1=ω_2=⋯=ω_N )، توزیعی یک‌دست با احتمال بسیار بالایی به‌دست می‌آید. امّا شرط دوم (6.14) این را تغییر می‌دهد و باید این تغییر را به‌حساب بیاوریم. ساده‌ترین شیوه برای انجام این کار توجّه به سه تقریب به‌ظاهر ابتدایی است، امّا این شیوه درمورد ذرّاتی با شمار بسیار زیاد (n→∞) کاملاً رضایت‌بخش است. نخستین تقریب چشم‌پوشی از همۀ توزیع‌هایی است که در آن n_1,n_2,…,n_N نسبتاً کوچک باشد؛ پس می‌توان با n_k مانند متغیری پیوسته رفتار کرد. تقریب دوم شامل جایگزینی صورت دقیق (6.15) با مقدار مجانبی آن برای n_k بزرگ با استفاده از فرمول استیرلینگ، یعنی لگاریتم log⁡(n!)→n(log⁡n-1) (ضمیمۀ14) است، و نتیجۀ آن چنین است:
(17.6) log⁡P=-n_1 log⁡n_1-n_2 log⁡n_2-…-n_N log⁡n_N+” const. “
تقریب سوم مبتنی بر این فرض است: رفتار کنونی گاز درتعادل آماری تنها با حالت احتمال حد‌اکثری تعیین می‌شود؛ احتمال بروز حالت‌های دیگر آن‌قدر ناچیز است که می‌توان از آن‌ها صرف‌نظر کرد.
پس حالا باید بیش‌ترین مقدار لگاریتم P را که (6.17) ذیل شرایط (6.13) و (6.14) ارائه می‌دهد تعیین کرد. بااستفاده از حسابی ابتدایی، فوراً نتیجۀ زیر به‌دست می‌آید:
(18.6) n_k=e^(α-βϵ_k )
که در آن α و β دو ثابت لازم است تا شرایط (6.13) و (6.14) محقّق شود. امّا این ثابت‌ها اهمیّتی نسبتاً متفاوت دارد.
چنان‌که با مخلوطی از دو گاز A و B با مقادیر معلوم 〖 n〗^((A)) و n^((B)) کار کنیم، دو شرط از نوع (6.13) و تنها یک شرط از نوع (6.14)، به‌دست می‌آید که بیانگر کلّ انرژی به‌دست‌آمده است.
بنابراین نتیجۀ زیر:
(19.6) n_k^((A))=e^(α^((Λ))-βϵ_k^((A)) ),□( ) n_k^((B))=e^(α^((B))-βϵ_k^((B)) )
با دو ثابت متفاوت α^((A)) و α^((B)) ولی تنها با یک β حاصل می‌شود. پس β پارامتر تعادل حرارتی میان دو جزء سازنده است، و تنها باید به دما بستگی داشته باشد.
مسلّم است چنانچه میانگین انرژی U و میانگین فشار p را محاسبه کنیم، می‌توانیم ترمودینامیک را به‌کار ببریم و می‌بینیم که در قانون دوم:

(20.6) β=1/kT
صدق می‌کند، که در آن T دمای مطلق و k یک ثابت است. درعین‌حال به‌نظر می‌رسد که آنتروپی به‌این صورت باشد:
(21.6) S=klog⁡P=-k∑_α▒  n_α log⁡〖n_α 〗
همۀ این نتایج را وام‌دار بولتزمن هستیم؛ به‌ویژه آنکه (6.18) را قانون توزیع بولتزمن می‌نامیم. قانون بولتزمن به‌روشنی قانون (6.11) ماکسول را موردی خاص می‌داند، به عبارتی به نقاط جرمی نظر دارد.
اکنون باید بپرسیم: آیا این ملاحظه که آن را دلیل تعادل برای قانون توزیع نامیدم، به‌واقع رضایت‌بخش است؟
اعتراضی را می‌توان به‌سادگی کنار گذاشت، به‌عبارتی اینکه تقریب‌های انجام‌شده بسیار نپخته است. می‌توان از آن‌ها به‌کلّی پرهیز کرد. داروین و فاؤلر نشان دادند می‌توان مقدار میانگین هر کمیّت فیزیکی را با انتگرال‌های پیچیده با بیانی دقیق ارائه داد که شامل به‌اصطلاح «تابع مجموع حالتی» باشد(ضمیمۀ 15):
(22.6) ω_1 z^(ϵ_1 )+ω_2 z^(ϵ_3 )+⋯+ω_N z^(ϵ_N )=F(z) .
در اینجا هیچ توزیعی را نادیده نگرفتیم و هیچ‌‌جایی از فرمول استیرلینگ استفاده نکردیم. بااین‌حال، همۀ نتایج مطابق تابع توزیع بولتزمن است، درصورتی‌که n→∞. هرچند این روش بسیار زیبا و توانمند است، هیچ صورت تازۀ مهمی در مسئلۀ اساسی مکانیک آماری که ضروری باشد، وارد نمی‌کند.
اعتراض دیگری بازهم ریشه‌دارتر است: آیا مولکول‌های گاز را می‌توان به‌واقع مستقل دانست؟
پدیده‌های بسیاری وجود دارد که نشان می‌دهد مولکول‌ها مستقل از یکدیگر نیست، حتّی اگر فقط به تعادل آماری توجّه کنیم، زیرا هیچ گازی به‌واقع «کامل» نیست، یعنی در قانون بویل به‌درستی نمی‌گنجد، و تحت فشار بر این انحراف افزوده می‌شود، به‌طوری‌که با فشار گاز کاملاً فرو می‌پاشد یا متراکم می‌شود. این خود نمایان‌گر وجود نیروهای جاذبۀ دوربرد میان مولکول‌هاست. روش آماری‌ای که در بالا تشریح کردیم، نمی‌تواند به آن بپردازد. نخستین کوشش را فان‌دروالس برای تصحیح آن با نظریّۀ پرآوازۀ خود به‌عمل آورد، و بسیاری کسان دیگر هم از او پیروی کردند. بعداً چند کلمه‌ای دربارۀ صورت امروزی این نظریّه‌ها خواهم گفت، که از جهاتی دقیق و رضایت‌بخش است.
برهم‌کنش‌هایی که پدیدۀ عدم‌تعادل بر ما آشکار کرد، بازهم از این جدی‌تر است: مانند چسبندگی، رسانایی گرمایی و انتشار. این برهم‌کنش‌ها را می‌توان ازنظر کمّی با فرض اینکه هر مولکولی حجمی معیّن دارد، یا دقیق‌تر بگوییم هر دو مولکول برهم‌کنشی کوتاه‌برد دافع دارد که مانع نزدیک‌شدن آن‌ها به‌یکدیگر می‌شود، فهم کرد. وجود سطح مقطع مؤثّر برخورد، پیامد این فرض است و درنتیجه مسافت آزاد میانگین برای حرکت مستقیم یک مولکول. ضرایب سه پدیده‌ای که از آن‌ها نام بردیم، می‌تواند با ملاحظاتی مقدّماتی، به مسیر آزاد تقلیل یابد، ونتایج تاجایی‌که بتواند پیش برود، در موافقت درست با مشاهده است.
همۀ این‌ها به‌درستی فیزیک است که از راهی ساده و ذهنی فرمول‌هایی به‌دست می‌دهد که مرتبۀ درست دامنۀ تأثیرات متفاوت مربوطه را نشان می‌دهد.
امّا این ملاحظات دربارۀ مسئلۀ دقیق نظریّۀ جنبشی، که به برهم‌‌کنش‌ها توجّه دارد، و نه تنها برای حالت‌های تعادل، بلکه برای حرکت هم معتبر است، تنها ارزش شناسایی مقدّماتی دارد. مسئله این است: چگونه می‌توانیم معادله‌های هیدرودینامیکی حرکت آشکار را به‌همراه پدیدۀ تبدیل و رسانایی گرما درمورد مخلوطی را، از انتشار نتیجه گرفت؟
چنین برنامه‌ای نشان از جاه‌طلبی دارد، زیرا چنین نظریّه‌ای باید این نتیجه‌ را دربر داشته باشد که اگر گازی را به‌حال خود رها کنیم به تعادل تمایل دارد. پس باید به‌سوی برگشت‌ناپذیری برود، هرچند فرض این است که قوانین معمول برگشت‌پذیر مکانیک درمورد مولکول‌ها صادق است. چگونه چنین چیزی امکان دارد؟ و از این‌ها بیشتر، آیا تعادلی که از این راه به‌دست آمده، با تعادلی که مستقیم، مثلاً از راه محتمل‌ترین توزیع به دست می‌آید، یکی است؟
با سؤال آخر شروع می‌کنیم. پاسخ آن همان است که در بالا گفتم، یعنی دلیل دینامیکی قانون توزیع مربوط به تعادل.
صورت‌بندی نظریّۀ گازهای بی‌تعادل کار بولتزمن است. می‌توانیم معادلۀ بنیادین او را با تعمیم یک از فرمول‌های هم‌ارز آن، یعنی (6.4) یا (6.7) به‌دست آورد. این معادله‌ها بر این فرض استوار است که هر مولکولی به‌استقلال از دیگر مولکول‌ها، مطابق با قوانین مکانیک حرکت می‌کند، و اینکه چگونه توزیع جمع چنین ذرّاتی در زمان روی می‌دهد. اکنون فرض استقلال دیگر برقرار نیست، چون عبارت طرف چپ معادلۀ (6.4) یا (6.7) برابر با صفر نیست؛ با درنظرگرفتن احتمال چگالی با f (1) برای ذره‌ای معیّن، می‌توانیم این‌طور بنویسیم:

(23.6) (df(1))/dt=(∂f(1))/∂t-[H,f(1)]=C(1)
که در آن C(1) نشان‌دهندۀ تأثیر سایر مولکول‌ها بر ذرّۀ 1 است؛ این را «انتگرال برخورد» می‌نامیم. آن‌طورکه بولتزمن آن را تنها برای موردی محاسبه کرد که مدار مرکز ذره‌ای را بتوان حرکت مستقیم و یک‌نواخت دانست که برخوردی ناگهانی آن را قطع کرده است. به‌این منظور استفادۀ تازه و مستقل از قوانین احتمالات بر این فرض استوار است که احتمال برخورد میان دو ذرۀ 1 و 2 متناسب با حاصل‌ضرب احتمال یافتن آن‌ها در پیکربندی داده‌شدۀ f(1)f(2) است. اگر حالا بگوییم که برخی مولکول‌ها براثر برخورد به بیرون از جزیی معلوم از فضای فاز پرتاب می‌شود، و برخی دیگر به داخل آن، دراین‌صورت معادلۀ زیر به‌دست می‌آید (ضمیمۀ 16):

(24.6) C(1)=∬▒ {f^’ (1) f^’ (2)-f(1)f(2)}|ξ_1-ξ_2 |dbdξ_2
که در آن f(2) مانند تابع f(1) است، امّا در اینجا ذرّۀ 2 را به‌حساب آورده‌ایم. f(1),f(2) به حرکت دو ذره «پیش از» برخورد نظر دارد، و f^’ (1),f^’ (2) به حرکت ذرّه «پس از» برخورد. برای این کار باید انتگرال بر روی همۀ سرعت‌های ذرۀ 2 را (dξ_2 ) حساب کنیم، و بر روی «سطح مقطع» برخورد (db)، که من در اینجا به جزئیّات آن نمی‌پردازم. «پیش از» و «پس از» برخورد به‌‌معنای حرکت‌ یکنواخت مستقیم مجانبی نزدیکی و جدایی است؛ روشن است چنانچه اولی معلوم باشد، دومی را به‌طور کامل هر قانون نیروی برهم‌‌کنشی مشخّص می‌کند – و این همان مسئلۀ دوجسم در مکانیک است. بنابراین سرعت هر دو ذره ξ_1^’,ξ_2^’ پس از برخورد توابعی معلوم این دو، پیش از برخورد ξ_1,ξ_2 است، و (6.23) صورت معادلۀ دیفرانسیل‌انتگرالی را به‌ هنگام محاسبۀ f به خود می‌گیرد.
این معادله موضوع پژوهش ریاضی بولتزمن و ماکسول در آغاز بوده و سپس نویسندگان امروزی فراوان به آن پرداخته‌اند. هیلبرت نوعی راه‌حلّ نظام‌مند را نشان داد که در آن هر گامی به‌سوی تقریب به معادلۀ انتگرالی از نوعی عادی (موسوم به فردهولم) می‌انجامد. اینس‌کو و چاپمن این روش را بسیار گسترش داده و برخی تغییرها در آن دادند. کتابی تحسین‌شدنی، نوشتۀ مشترک چاپمن و کاولینگ وجود دارد که تمامی فرضیّۀ گازهای ناهمگن چون حاصل معادلۀ (6.23) در آن آمده است. من هم در اینجا تنها چند نکته از این بررسی مهم را بر می‌شمرم.
نکتۀ نخست مسئلۀ تعادل است. آیا معادلۀ (6.23) به‌واقع رویکردی برگشت‌ناپذیر از حالت اولیّه به‌سوی تعادلی همگن است؟ دراصل این چنین است، و نتیجه‌اش بسیار شگفت: به‌عبارتی دگردیسی مکانیک بر‌گشت‌پذیر به یاری احتمالات به ترمودینامیک برگشت‌ناپذیر. امّا پیش از گفت‌وگو دربارۀ این موضوع دشوار، دلیل ریاضی آن را می‌آورم.
از آمار تعادل این‌طور بر می‌آید که آنتروپی، به‌عبارتی معادله (6.21)، با احتمالات مرتبط است. اگر n_k ناپیوسته را با f پیوسته و جمع را با انتگرال در فضای فاز جایگزین کنیم، معادلۀ زیر به‌دست می‌آید:

(25.6) S=-k∫▒ f(1)log⁡f(1)dqdp
حال اگر مشتق زمان dS/dt را با ∂f(1)/∂t جایگزین کنیم از معادلۀ (6.23)، با فرض نبود تداخل خارجی، معادلۀ زیر به دست می‌آید ( ضمیمۀ 17):

(26.6) dS/dt⩾0
که در آن علامت = زمانی صادق است که f(1) از مختصّات فضا مستقل باشد و چون تابعی از سرعت به‌طور یکسان برای هر برخوردی درست باشد.
(27.6) f(1)f(2)=f^’ (1)f^’ (2)
نتیجه‌ای را که معادله (6.26) به‌دست می‌دهد، قضیّۀ H” ” بولتزمن (به‌این علّت که از نماد H برای -S/k استفاده می‌کند) می‌خوانند. بولتزمن مدعی بود این معادله تبیینی آماری از برگشت‌ناپذیری ترمودینامیکی ارائه می‌دهد.
معادلۀ (6.27) معادله‌ای تابعی است که f را چون تابعی از «ناورداهای برخورد» معیّن می‌کند، مانند انرژی کل و گشتاور کل. اگر گاز چون کلّی در سکون باشد، تنها راه‌حلّ (6.27) قانون توزیع ماکسول (یا بولتزمن) است:
(28.6) f=e^(α-βϵ),H(p,q)=ϵ
و این همان دلیل دینامیکی است که از آن نام بردم، و البتّه نتیجه‌ای بسیار چشمگیر است؛ زیرا از سازوکار برخورد مشتق می‌شود، که در روش‌های پیشین تعادل، آن را کامل نادیده گرفته بودیم. این نکته نیاز به توضیح دارد.
پیش از انجام این کار، باید بگویم معادله‌های آبی-حرارتی گازها، یعنی معادله‌های پیوستگی، حرکت و رسانایی گرمایی از معادلۀ (6.23) بولتزمن، از راه فرایند صوری ساده‌ای (ضرب با 1,ξ و 1/2 mξ^2، پس از آن با انتگرال‌گیری بر روی همۀ سرعت‌ها) نسبت به تانسور تنش T به‌دست می‌آید – فرمول عمومی (4.9) کوشی را به خاطر بیاورید – که خود با جمله‌های تابع توزیع f بیان شده است. برای اینکه به این معادله‌ها معنایی حقیقی بدهیم، باید f را با مقادیر فیزیکی گسترش داد، که خود منظور نظریّه‌های کتاب چاپمن و کاولینگ است. با این روش نظریّۀ بسیار رضایت‌بخش هیدرو-ترمودینامیکی گازها به‌دست آمد که دربرگیرندۀ چسبندگی، رسانایی گرما، و انتشار است.

مکانیک آماری
به یاد دارم چهل‌سال پیش زمانی که خواندن کتاب‌های علمی را آغاز کردم، بحث بسیار داغی دربارۀ روش‌های آماری در فیزیک، به‌ویژه قضیّۀ H درگرفته بود. مخالفت‌ها دو دسته بود، یکی دربارۀ برگشت‌پذیری، و دیگری دربارۀ تناوب.
لوشمیت، مانند بولتزمن، عضو مکتب اتریش، مخالفت با برگشت‌پذیری را به این صورت بیان کرد: با وارونه‌کردن همۀ سرعت‌ها، از هر راه‌حلّ معادله‌ای مکانیکی، راه‌حلّ دیگری به‌دست می‌آید – چگونه انتگرال S، که به وضعیّت آنی بستگی دارد، در هردو مورد افزایش می‌یابد؟
مخالفت با تناوب بر قضیّۀ هانری پوانکاره، ریاضی‌دان بزرگ فرانسوی، مبتنی بود که می‌گوید هر نظام مکانیکی، اگر کاملاً تناوبی نباشد، دست‌کم شبه‌تناوبی است. قضیّۀ لیوویل می‌گوید منطقه‌ای معلوم در فضای فازی بی‌تغییر حجم حرکت می‌کند و بنابراین منطقه‌ای لوله‌ای‌شکل می‌پیماید که بر طولش افزوده می‌شود. از‌آنجایی‌که حجم کل در دسترس معلوم است (در سطح انرژی حداکثری قرار دارد)، این لوله باید بتواند خود را در محلّی قطع کند، که به‌معنای نزدیک‌شدن احتمالی حالت اولیّه و نهایی به یکدیگر است.
زرملو، ریاضی‌دان آلمانی، که بر مسائل انتزاعی، مانند نظریّۀ مجموعه‌های کانتور و اعداد فوق‌متناهی کار می‌کرد، مبادرت به ترجمۀ کار گیبس دربارۀ مکانیک آماری به زبان آلمانی کرد. امّا عیوب منطقی این نظریّه او را برآشفت و حمله‌ای شدید به آن کرد. زرملو به‌ویژه از قضیّۀ پوانکاره استفاده کرد تا فضاحت‌ استدلال فیزیک‌دانان را نشان دهد: آن‌ها مدّعی اثبات افزایش برگشت‌ناپذیر کمیّتی مکانیکی برای نظامی بودند که پس از زمانی معلوم، با هر دقّت دلخواهی، به حالت اولیّه خود باز می‌گشت.
این ایراد‌ها چندان هم عبث نبود، چون دو فیزیک‌د‌ان برجسته، پاول ارنفست و همسرش تاتیانا را واداشت تا به بررسی و روشن‌کردن موضوع بپردازند، و با نوشتن مقالۀ معروفی در جلد چهارم دانشنامۀ ریاضی جایی برای تردید باقی نگذارند.
امروزه نیاز چندانی نداریم تا ظرافت‌های منطقی این کار را دنبال کنیم. بر این کار، کافی است این نکته را خاطرنشان کنیم که این ایرادها بر سوء‌فهمی استوار است که حالا در پی می‌آید. اگر رفتار گازی را با معادلۀ (6.4) تشریح کنیم (تنها منظور همین مورد ساده است، چون هیچ مورد دیگری تا همین اواخر، قضیّۀ H را ثابت نکرده است)، و اگر برای H معادلۀ همیلتون کلّ نظام را تابعی از مختصّات و گشتاورهای همۀ ذرّات بدانیم، درنتیجه f به‌واقع برگشت‌پذیر است و شبه‌تناوبی، و قضیّه H را نمی‌توان اثبات کرد.
اثبات بولتزمن بر این معادله استوار نیست، بلکه مبتنی بر معادله (6.23) است، که در آن اکنون H همیلتونی مولکولی واحد است، بی‌مزاحمت دیگر مولکول‌ها، و در آن جملۀ دست راست صفر نیست، بلکه برابر با انتگرال برخورد C(1) است. نتیجۀ اخیر را تأثیر تقریبی دیگر مولکول‌ها می‌دانیم؛ «تقریبی» هم به‌معنای میانگینی منطقی است. این میانگین بیان بی‌اطّلاعی ما از موقعیّت ریزذرّات به‌فعل است. بنا بر قضیّۀ بولترمن، این معادله که شناخت مکانیکی را با ندانستن جزئیّات درهم می‌آمیزد، به برگشت‌ناپذیری می‌انجامد. میان دو گزاره تضادی وجود ندارد.
امّا سؤال دیگری برجای می‌ماند و آن اینکه آیا چنین تغییری در معادلۀ اساسی توجیه‌شدنی است؟ در اینجا می‌بینیم که البتّه چنین است، به‌معنایی گسترده‌تر از بولتزمن، به‌عبارتی نه تنها برای یک گاز، بلکه برای هر ماده‌ای که بتوان آن را با گرته‌ای مکانیکی تشریح کرد. اکنون باید به این سئوال بپردازیم که چگونه می‌توان روش‌های آماری را بر نظام‌های مکانیکی اعمال کرد. بدون چنین فرضیّه‌ای، حتّی نمی‌توانیم به انحراف از رفتار به‌اصطلاح کامل گازها (قانون بویل) بپردازیم؛ قانونی که در فشار بالا و دمای پایین ظاهر می‌شود و به تراکم می‌انجامد. نظریّه‌هایی مانند نظریّۀ وان‌در‌والس آشکارا خصلتی مقدّماتی دارد؛ و این چیزی است که به‌طور عموم در صورت‌گرایی‌ای کلّی و شناخته‌شده، در حالت‌های گازی، سیال، و صلبی، که تحت تأثیر هر نوعی از نیروهای خارجی باشد، نیاز داریم.
در مورد تعادل آماری، این صورت‌گرایی را ویلارد گیبس در کتاب پرآوازۀ خود مکانیک آماری (1901)، که نشان ازموفقیّت بسیار در عمل داشت، ارائه داد (ضمیمۀ 18). جان کلام فکر گیبس این است تا نتاج بولتزمن از جمع زیادی از مولکول‌های برابر را به جمعی تصوّری یا «مجازی» از نسخه‌‌هایی از نظام مورد نظر به‌کار بگیرد، و فرضش این باشد که نظام ذکر‌شده رفتاری مانند رفتار میانگین داشته باشد که برای آن جمع محاسبه کردیم. پیش از اینکه به نقد این فرض بپردازیم، نگاهی کوتاه به روش گیبس می‌اندازیم. گیبس با قضیّۀ لیوویل (6.4) آغاز کرد و به‌ویژه به مورد تعادل توجّه کرد که در آن تابع افراز f از جمع مجازی باید در معادلۀ (6.9) صدق کند. او می گوید f=Φ(H) راه‌حلّی است (آن‌طور که دیدیم) و دو صورت خاص از تابع Φ را برگزید. صورت اوّل آن این‌طور است:
(29.6) f=Φ(H)=” const.,if ” E<H<E+ΔE
=0 بیرون از این فاصله

که در آن E انرژی معلوم و ΔE فاصلۀ کوتاه انرژی است. (در نگارش امروزی می‌توان نوشت Φ(H)=δ(H-E) که در آن δ تابع نمادین دیراک است). گیبس این توزیع متناظر را بندادی ریز می‌خواند.
صورت دوم، همان معادلۀ ماکسول- بولتزمن زیر است:
(30.6) f=e^(α-βE),H(p,q)=E
که گیبس توزیع متناظر آن را بندادی خواند. گیبس نشان داد که چگونه هردو فرض نتایج یکسانی برای مقادیر فیزیکی میانگین دارد. امّا صورت بندادی ارجح است، زیرا کار‌کردن با آن ساده‌تر است. β هم برای نظام‌های با تعادل حرارتی یکسان است؛ اگر β=1/kT باشد، روابط صوری میان میانگین‌های ساخته‌شده با معادلۀ (6.30) نسخۀ بدل واقعی ترمودینامیک است. برای مثال، شرط بهنجارسازی احتمالات این چنین است:
(31.6) ∫fdpdq=∫e^(α-βE) dpdq=1
که می‌توان آن را به این صورت نوشت:
(32.6) F=α/β=kTlog⁡Z,Z=∬e^(-E/kT) dpdq
F در اینجا همان کار انرژی آزاد در معادلۀ هلم‌هولتز را دارد. انتگرال Z، که امروزه آن را «تابع افراز» می‌نامند، به‌جز انرژی E، به پارامترهای مولی، مانند حجم V وابسته است. همۀ خواص فیزیکی را می‌توان از راه دیفرانسیل‌گیری به‌دست آورد، مانند آنتروپی S و فشار p:

(33.6) S=-∂F/∂T,p=-∂F/∂V
این صورت‌گرایی موفقیّت شگفتی‌آوری در پرداختن به خواص ترمومکانیکی و ترموشیمیایی از خود نشان داد. برای مثال، قضیّۀ گازهای واقعی (و نه کامل) را می‌توان این‌طور نوشت:
(34.6) E=H(p,q)=K(p)+U(q)
که در آن K انرژی جنبشی و U انرژی پتانسیل است؛ این آخری به برهم‌کنشی متقابل میان مولکول‌ها وابسته است. چون K در p از درجۀ دوم است، انتگرال متناظر در Z به‌آسانی انجام می‌شود و کلّ مسئله به محاسبۀ انتگرال چندگانه محدود می‌شود:
(35.6) Q=∫…∫e^(-U(q_1 q_2…q_N )/kT) dq_1 dq_2…dq_N
این کار هنوز هم دشوار است، و تلاش زیادی بر انجامش صرف شده است. تنها به ذکر پژوهش‌هایی بسنده می‌کنم که اورسل انجام داد، و مایر و دیگران، با هدف جایگزینی معادلۀ نیمه‌تجربی حالت وان‌دروالس با معادله‌ای دقیق، آن را تکمیل کردند. درواقع می‌توان Q را به سری‌ای از توان‌های V^(-1) بسط داد، و حاصل را در (6.32) و (6.33) وارد کرد، تا به‌این‌ترتیب فشار p با سری مشابهی به‌دست آید:

(36.6) p=RT/V (1-A/V+B/V^2 -…)
که در آن ضریب‌های A,B,…، را ضرایب ویریال می‌خوانند، و توابعی از T است. شاید بازهم بتوان فراتر رفت و در‌بارۀ فرایند تراکم بحث کرد، امّا دشواری‌های ریاضی در پرداختن به حالت سیّال خود بازدارنده است.
دامنۀ کاربرد نظریّۀ گیبس بسیار گسترده است، امّا با خواندن کتابش احساس کمبود عمیق‌تری کردم.
چند سال بعد (1902، 1903) سلسله مقالاتی از اینشتین منتشر شد که به‌همان صورت‌گرایی می‌پرداخت، و آشکارا به‌استقلال این کار را کرده بود، زیرا به ماکسول و بولتزمن اشاره شده بود، امّا نه به گیبس؛ این مقالات دو چیز اساسی را اصلاح می‌کرد: یکی کوششی بود تا فرض آماری را تأیید کند، و دیگر آنکه کاربردی به موردی بیابد که زمانی نظریّۀ جنبشی ماده را از فرضیّه‌ای سودمند به چیزی کاملاً واقعی و مستقیماً مشاهده‌شدنی، به‌عبارتی به نظریّۀ حرکت براونی تغییر می‌داد.
درمورد بنیان‌های کارش، اینشتین از دلیلی استفاده کرد که بولتزمن پیشتر وارد کرده بود تا قانون توزیع خود را (6.18) استحکام دهد – هرچند جندان به‌نظر لازم نمی‌رسید، زیرا برای جمعی حقیقی، روش شمارش توزیع او بر روی سلّول‌ها کاملاً رضایت‌بخش بود. شگفت آنکه، این استدلال بولتزمن بر قضیّه‌ای مشابه با ملاحظات پوانکاره دربارۀ شبه‌ادواری‌بودن استوار بود که زرملو با آن کوشید همۀ مکانیک آماری را یک‌سره درهم بشکند. اینشتین به توزیعی از نوع ریزبندادی در مجموعه کارهای گیبس توجّه دارد که در آن تنها یک «سطح انرژی» H(p,q)=E در فضای فاز به‌حساب می‌آید. نقطۀ اصلی در فضای فازی همواره بر روی این سطح حرکت می‌کند. ممکن است همۀ سطح به‌نحوی پوشیده شده باشد که مدار از همۀ نقطه‌های سطح عبور کند. چنین نظام‌هایی را ارگودیکی می‌نامند؛ امّا اطمینان چندانی هم نیست که اصلاً وجود داشته باشند. نظامهایی را شبه‌ارگودیکی می‌خوانند که مدار به هر نقطه از سطح انرژی نزدیک شود؛ اینکه چنین اتفاقی بیفتد، می‌توان آن را با دلیلی شبیه به آن چیزی یافت که به قضیّۀ پوانکاره دربارۀ شبه‌دوره‌ای‌بودن انجامیده بود. پس این هم می‌تواند پذیرفتنی باشد که کل زمان ماندن نقطۀ متحرک در بخشی مشخص از سطح انرژی متناسب با مساحت آن باشد؛ پس زمان میانگین هر تابعی از p,q آشکارا برابر با زمان به‌دست‌آمده به کمک مجموعۀ مجازی ریزبندادی است. به‌همین شیوه، از شبه‌ادواری‌بودن استفاده می‌شود تا مکانیک آماری را توجیه کند؛ کاری که درست به‌عکس استدلال زرملو است. چنین تناقضی را زرملو با‌توجّه‌به این نکته حلّ کرد که او عقیده داشت تناوب بزرگ و ماکروسکوپی است، درحالی‌که اینشتین فرضش این بود که تناوب آن‌قدر کوچک است که نمی‌توان مشاهده‌اش کرد. حال حق با چه کسی است؟ می‌توانید پاسخ روشن را خودتان بیابید (ضمیمۀ 19).
نویسندگان امروزی راه‌های دیگری را برای برپایی بنیان‌های مکانیک آماری به کار می‌برند. این راه‌ها بیشتر تطبیق روش سلّولی به مجموعه‌ای مجازی است؛ پس ناگزیریم توضیح دهیم چرا خواص میانگین نظام واحد مشاهده‌شده را می‌توان از راه میانگین نظام‌های بسیار مجموعۀ مجازی به‌دست آورد. برخی به‌آسانی می‌گویند: چون حالت واقعی را نمی‌دانیم، پس حق داریم منتظر باشیم که میانگین را از وضعیّت‌های خاص به‌دست آوریم که به‌طور نظری، موردی بسیار نادر است – و مسلّماً هم چنین است. برخی دیگر می‌گویند نباید با نظامی واحد کار کنیم، بلکه با نظامی که در تماس گرمایی با محیط خود است، گویی که ترموستاتی دارد یا در حمّام گرما باشد؛ دراین‌صورت می‌توانیم فرض کنیم که این حمّام گرما خود نسخه‌های بسیار از نظام مورد نظر است، به‌طوری‌که مجموعۀ مجازی به مجموعه‌ای واقعی بدل شده باشد. به گمان من ملاحظاتی ازاین‌دست، رضایت خاطر چندانی فراهم نمی‌آورد.
حقیقت این است که مکانیک آماری با توضیح بسیاری از پدیده‌های کنونی، خود را موجّه نشان داده است. در میان این پدیده‌ها، افت‌و‌خیز و حرکت براونی بود که اینشتین فرضیّۀ خود را بر آن‌ها به‌کار برد. (ضمیمۀ 20). برای فهم اهمیّت این گام باید به یاد آوریم که در آن زمان (حدود سال‌های 1900) اتم و مولکول هنوز به‌اندازۀ امروز ما واقعی نبود – برخی فیزیک‌دانان هنوز هم عقیده‌ای به آن ندارند. پس از کار اینشتین دیگر چنین چیزی ممکن نبود. ذرات کوچک دیده‌شدنی معلّق در گازی و یا مایعی (کلوئید)، موّادی آزمایشی است به‌حدّی کوچک، که بتواند ساختار دانه‌مانند محیط اطراف خود را با حرکت نامنظم خود نشان دهد. اینشتین نشان داد که خواص آماری این حرکت (چگالی میانگین، مربّع جا‌به‌جایی در زمان و غیره) ازنظر کیفی با پیش‌بینی‌های نظریّۀ جنبشی مطابقت دارد. پرن بعد‌ها این نتایج را با اندازه‌گیری‌های دقیق تأیید کرد و برای نخستین بار مقدار دقیق عدد N آووگادرو را، که تعداد ذرات در هر مول را نشان می‌دهد، به‌دست آورد. ازآن پس نظریّۀ جنبشی و مکانیک آماری به‌صورت قطعی برقرار شد.
امّا بیش از این نتیجۀ فیزیکی، نظریّۀ اینشتین دربارۀ حرکت براونی نتیجۀ بسیار مهمّی برای روش‌شناختی علمی به‌طورکلّ دربر داشت. دقّت اندازه‌گیری به حساسیّت ابزارها و خود این‌ها به اندازه و وزن بخش‌های متحرّک و نیروهای بازیابندۀ مؤثّر بر آن‌ها وابسته است. پیش از کار اینشتین، فرض تلویحاً بر این بود که پیشرفت در این جهت را تنها فنون تجربه محدود می‌کند. اکنون به‌وضوح می‌دانیم که چنین نبوده است. چنانچه نشانگری، مانند سوزن گالوانومتر، بسیار کوچک یا نخ‌‌ آویز آن بسیار نازک باشد، هرگز بی‌حرکت نخواهد ماند، بلکه نوعی حرکت براونی خواهد داشت. در عمل چنین چیزی مشاهده شده است. پدیده‌های مشابهی اهمیّت زیادی در فنون الکترونیکی امروزی برعهده دارد، یعنی جایی که محدودیت مشاهده را تغییرات نامنظمی به‌دست می‌دهد که آن را می‌توان به‌صورت «نوفه» در بلندگویی شنید. قوانین طبیعی خود بر مشاهده‌پذیری محدودیتی اعمال می‌کند.
این نمونه‌ای برجسته از مجموعۀ قواعد دربارۀ استنتاج از راه استقراء به‌شمار می‌آید، هرچند شاید کم‌وبیش متافیزیکی، امّا مسلماً ماتقّدم نبوده، بلکه دستخوش واکنش‌های دانشی است که به خلق آن کمک کرده است، زیرا قواعدی که به تجربه‌گر می آموزد چگونه یافته‌های خود را به‌دست آورد و دقّت آن‌ها را بهبود بخشد، مسلّماً در آغاز به او خاطرنشان نمی‌کند که پایانی طبیعی بر این فرایند وجود دارد.
بااین‌همه، نباید فکر بهبود بی‌پایان دقّت را کنار گذاشت. تنها باید قواعدی بر آن افزود: اندازه‌گیری‌ها را باید در دمای پایین، تاجایی‌که ممکن است، انجام داد، چون حرکت براونی با کاهش دما از میان می‌رود.
امّا پیشرفت‌های تازه در فیزیک نشان داد این قواعد هم مؤثّر نیست، و تغییر قطعی‌تری باید در مجموعۀ قواعد انجام شود.
پیش از پرداختن به این مسئله، باید بررسی روش‌های آماری در مکانیک کلاسیک را به پایان ببریم.

نظریّۀ جنبشی فراگیر
نظریّۀ جنبشی را زمانی می‌توان کامل دانست که آن را بتوان به مادّۀ درحال حرکت (دیده‌شدنی) و همچنین به تعادل اعمال کرد. امّا چنان‌که به نوشته‌های مربوط به این موضوع مراجعه کنیم، چیز اندکی می‌یابیم – شاید چند مورد بسیار ساده را. مهم‌ترین آن‌ها، نظریّۀ گازهاست که تااندازهای به آن پرداختیم. دو مورد دیگر را باید ذکر کنیم: نظریّۀ جامدات و حرکت براونی.
جامد کامل شبکه‌ای از بلور یا مولکول تناوبی بسیار بزرگ است. امّا اتم فقط در دمای صفر به‌صورتی منظم در وضعیت تعادل قرار دارد. در دما‌های بالاتر اتم شروع به ارتعاش می‌کند. تازمانی‌که دامنۀ ارتعاش کوچک باشد، نیروهای متقابل توابعی خطی است؛ بنابراین ارتعاش را می‌توان مانند «حالتی عادی» تحلیل کرد که موجی است با بسامد معیّن که از داخل شبکه می‌گذرد. این حالت‌های عادی نمایندۀ نظامی از نوسان‌های منظّم و مستقلّ هماهنگ است که بر آن‌ها می‌توان روش مکانیک آماری گیبس را بی‌هیچ دشواری‌ای به‌کار برد. امّا اگر بر دما افزوده شود، دامنۀ ارتعاش بالاتر هم می‌رود، و جمله‌هایی از مراتب بالاتر در برهم‌کنش ظاهر می‌شود: امواج یکدیگر را می‌پراکند ودرنتیجه با شدّت بیشتری میرا می‌شود. پس نوعی مسیر آزاد برای حمل انرژی وجود دارد که می‌توان از آن در تبیین رسانایی گرمایی در بلور استفاده کرد (دبی). ملاحظات مشابه‌ای که بر الکترون در بلور فلزی مصداق دارد، در روشن‌کردن پدیده‌هایی مانند رسانایی الکتریکی و گرمایی در فلزات کاربرد دارد.
درمورد حرکت براونی، پیشتر گفتم که اینشتین نه تنها میانگین چگالی کلوئیدی را، مثلاً ذیل گرانش، محاسبه کرد، بلکه میانگین مربّع جا‌به‌جایی ذرۀ معلّق واحدی در زمان (یا معادل آن، یعنی پراکندگی کلوئیدی را از راه انتشار چون تابعی از زمان) را به‌دست آورد. پیش‌فرض ساده‌ای که این کار را ممکن می‌کند این است که جرم ذرّۀ کلوئیدی در قیاس با جرم مولکول‌های محیطی بزرگ‌تر است، به‌طوری‌که این‌ها تنها ضربه‌های کوچک را منتقل می‌کنند. ملاحظاتی مشابه دربارۀ دیگر پدیده‌های افت‌وخیز به‌کار گرفته شده است (ضمیمۀ 20).
به‌شمار کم‌و‌بیش نمونه‌های منفرد بی‌تعادلی به روش نیمه‌تجربی پرداخته شده است که از مفهوم زمان آسودگی استفاده می‌کند.. در کتاب « نظریّۀ جنبشی سّیال‌ها»، نوشتۀ جی.فرنکل می‌توان گزارش کاملی از چنین چیزهایی دربارۀ جامدات و سیّال‌ها یافت. امّا نباید از این کتاب انتظار نظریّه‌ای نظاممند را داشت که بر اساس فکری کلی باشد، و چنین چیزی را درهیچ کتاب دیگری هم نمی‌توان یافت.
دکتر گرین، همکارم، و من کوشیدیم این خلاء را پر کنیم و نظریّۀ جنبشی عام ماده را فراهم آوریم. امیدوارم زحمتی برایتان نباشد که من اندکی برای دل خودم به توضیح این افکار نو بپردازم. این کار به فهم برهم‌کنش میان علّت و تصادف در قوانین طبیعت کمک خواهد کرد.
اصول عمومی گیبس را باید به‌خاطر بسپاریم، هرچند او از آن‌ها تنها برای مورد تعادل آماری استفاده کرده است.
مقداری دلخواه از ماده، سیّال یا جامد، از دیدگاه اتمی، نظامی مکانیکی از ذرّات است (اتم، مولکول) که معادلۀ همیلتونی H آن را معیّن می‌کند. حالت آن زمانی کاملاً مشخص می‌شود که مقادیر اولیّۀ مختصات و گشتاور معلوم باشد. امّا درحال‌حاضر با چنین موردی روبه‌رو نیستیم؛ امّا احتمال f^0 (p,q)dpdq (هرچند هنوز نامعلوم) برای توزیع اوّلیّه وجود دارد. قوانین علّی حرکت این را مطالبه می‌کند که توزیع f(t,p,q) در زمان متأخّر t راه‌حلّ معادلۀ لیوویل (6.4) باشد:

(37.6) df/dt=∂f/∂t-[H,f]=0
به‌عبارتی راه‌حلّی برای t=0 که تبدیل به f^0 می‌شود:
(38.6) f(0,p,q)=f^0 (p,q)
برای ساده‌شدن مطلب، فرض کنیم همۀ مولکول‌ها ذرات مساوی (جرم نقطه‌ای) با مختصات X^((k)) و سرعت‌های ξ^((k))=p^((k))/m باشد. f را تابعی از این‌ها می‌دانیم و آن را به‌این صورت می‌نویسیم f(t,x,ξ). اگر بخواهیم نشان دهیم که تابع f وابسته به ذرات h است، نباید همۀ شناسه‌ها را بنویسیم، بلکه فقط f_h (1,2,…h) یا به‌اختصار f_h را می‌نویسیم. چون ذرات ازنظر فیزیکی تشخیص‌دادنی نیست، می‌توان فرض کرد که همۀ توابع f_h در ذرات متقارن است.
امّا حالا هم فیزیک‌دان مستقیماً علاقه‌ای به راه‌حلّ متقارن (6.37) f_N از خود نشان نمی‌دهد، بلکه می‌خواهد چیزهایی را مانند عدد چگالی را (تعداد ذرات در واحد حجم) n_1 (t,x) در نقطۀ معلوم x از فضا را، یا شاید علاوه‌بر‌آن توزیع سرعت را f_1 (t,x,ξ) ، یعنی فقط مقادیری را که ازجهت نظریّۀ جنبشی گازها تنها به ذره‌ای واحد بستگی دارد، بشناسد.
پس او باید گام‌به‌گام تابع f_N برای N ذره را به تابع f_1 برای یک ذره ساده کند.
این کار با انتگرال‌گیری بر روی مکان و سرعت یک ذره، مثلاً آخرین ذره، به‌کمک عملگر انتگرال ممکن است:
(39.6) χ_q…=∬▒ dx^((q) ) dξ^((q) )… .
اگر f_(q+1) را داشته باشیم، با اجرای عملگرf_q، χ_(q+1) را به دست خواهیم آورد؛ امّا آسان‌تر است تا عامل هنجارش را اضافه کنیم و این‌طور بنویسیم:
(40.6) (N-q)f_g=χ_(q+1) f_(q+1)
معنای فیزیکی این عملیّات این است: ما از ادعای خود به دانستن محل یک ذره صرف‌نظر می‌کنیم، تا ندانستن خود را به‌درستی اعلام کنیم. با اجرای پی‌در‌پی این عملیّات، زنجیره‌ای از توابع به دست می‌آید:
(41.6) f_N,□( ) f_(N-1),□( )…,□( ) f_2,□( ) f_1
که به آن می‌توانیم f_0=1 را اضافه کنیم؛ f_q به‌معنای احتمال یافتن نظام در حالتی است که در آن ذرات q مکان خود را تثبیت کرده‌اند (یعنی درون عناصر معلومی قرار دارند). بهنجارش به‌صورتی است که:
(42.6) ∫f_1 (t,x^((1)),ξ^((1)) )dξ^((1))=n_1 (t,x^((1)) )
به‌معنای عدد چگالی است؛ زیرا در اینجا داریم:

(43.6) ∫▒ n_1 (t,x^((1)) )dx^((1))=∬▒ f_1 dx^((1)) dξ^((1))=χ_1 f_1=N
که در آن آخرین برابری از (6.40) برای q=0، (با f_0=1) به‌دست می‌آید.
اکنون باید معادلۀ بنیادین (6.37) را گام‌به‌گام با اجرای پی‌درپی عملگر χ ساده کنیم (ضمیمه، 21). با این فرض که اتم‌ها با نیرو‌های مرکزی بر یکدیگر کنش دارد، و Φ^((ij)) انرژی پتانسیل میان دو اتم باشد، نتیجه ساده‌کردن زنجیره‌ای از معادله به‌شکل زیر خواهد بود:

(44.6) (∂f_q)/∂t=[H_q,f_q ]+S_(q ) (q=1,2,…,N)
به‌طوری که به رابطۀ زیر می‌رسیم:

(45.6) S_q=∑_(i=1)^q▒  χ_(q+1) [Φ^((i,q+1)),f_(q+1) ]
این مقدار S_q را عبارت آماری می‌نامیم. چه امتیازی در تحویل مسئله به‌صورت زنجیره‌ای از معادله وجود دارد؟ در نگاه اوّل اصلاً امتیازی وجود ندارد؛ زیرا برای تعیین f_1 نیاز به دانستن S_1 است، امّا S_1، f_2 را در خود دارد، که بازهم به f_3 وابسته است، و به‌همین‌ترتیب، به‌طوری‌که سرانجام به f_N می‌رسیم که در معادلۀ اصلی صدق می‌کند. امّا این استدلال فرضش این است که به دریافت اطّلاعات درمورد جزئیّات حرکت علاقه‌مندیم، و این درست چیزی است که ما نمی‌خواهیم.
امید ما این است تا میانگین‌هایی نسبتاً دست‌نخورده و مشاهده‌شدنی به‌دست آوریم. با شروع از f_1 و بالا‌رفتن تا f_2,f_3,…، می‌توان زود توقّف کرد، زیرا بی‌نظمی با افزایش شمار ذرات خود فزونی می‌گیرد، و اتصّال محکم میان f_q و f_(q+1) را، مطابق با بی‌دقّتی در مشاهده، با تقریبی دیگر جایگزین می‌کند.
پیش از آنکه توضیحی دربارۀ اجرای این «روش بی‌اطّلاعی» با نمونه‌های ساده بدهم، میل دارم متذکر شوم اکنون زنجیره‌ای از معادله‌های (6.44) را از راهی کاملاً متفاوت یافته‌ایم که با f_1 آغاز می‌کند و از محاسبه احتمال برای رویدادهای دیگری استفاده می‌کند که از یکدیگر استقلال ندارد (ضمیمۀ 22).
این استنتاج کمتر از اولی صوری است و معنای فیزیکی عبارت آماری را روشن می‌کند.
امّا این کار هم بسیار دلپسند است تا نشان دهیم چگونه می‌توان از این فرمول کلّی (6.44) قوانین گرمایی و مکانیکی را درمورد مواد پیوسته استخراج کرد. امّا در اینجا به ارائۀ نکاتی چند دربارۀ «روش بی‌اطّلاعی» بسنده می‌کنم که پیشتر به آن اشاره کرده بودم.
نمونۀ نخست نظریّۀ گازهاست. دیدیم که این نظریّه بر معادلۀ (6.23) بولتزمن استوار است:

(46.6) (∂f(1))/∂t=[H,f(1)]+C(1)
که در آن C(1) انتگرال برخورد (6.24) است:

(47.6) C(1)=∫▒ [f^’ (1) f^’ (2)-f(1)f(2)]| |dbdξ_2
اکنون (6.46) همان شکل فرمول عمومی (6.44) برای q=1 را دارد، مشروط‌به‌ آنکه C(1) را بتوان با S_1 همسان دانست.
گرین نشان داد که ازقضا همین‌طور است، مشروط‌به آنکه نیروهای مولکولی برد کوچک r_0 را داشته باشد؛ پس می‌توان فرض کرد در حالت گازی از احتمال یافتن بیش از دو ذره در بردی کوچک‌تر از r_0 می‌توان صرف‌نظر کرد. به‌عبارت دیگر، میتوان همه به‌استثنای برخوردهای «دوتایی» را حذف کرد. دو ذرۀ خارج از حوزۀ برهم‌کنش را می‌توان مستقل دانست؛ پس خواهیم داشت:
(48.6) f_2 (1,2)=f_1 (1)f_1 (2)
بنا به قضیّۀ لیوویل این زمانی عملی خواهد شد، که در سمت چپ، مکان و سرعت اشاره به نقطه‌ای در درون دایره کنش داشته باشد و در سمت راست از مقادیر بر روی سطح آن استفاده شود. به‌کمک این واقعیّت، انتگرال‌گیری بر روی S_1 را می‌توان انجام داد (ضمیمۀ 23)، که به‌طور دقیق به عبارت C(1) می‌انجامد، که در آن تنها «مقادیر مرزی» توابع f(1) و f(2) بر سطح کرۀ کنش پدیدار می‌شود.
بنابراین نظریّۀ جنبشی گازها به‌تمامی در نظریّۀ ما چون موردی خاص جای دارد.
دربارۀ سیّالات، باید به‌شیوۀ دیگری عمل کنیم، زیرا به برخورد‌های سه‌گانه و بیشتر نمی‌توان با فرمولی ابتدایی پرداخت. برای این کار از روش پیشنهادی کیرک‌وود، فیزیک‌دان آمریکایی، استفاده کردیم. فرمول او عمومیّت‌دادن به (6.48) است، به‌عبارتی:

(49.6) f_3 (1,2,3)=(f_2 (2,3)f_2 (3,1)f_2 (1,2))/(f_1 (1)f_1 (2)f_1 (3))
است، که می‌توان آن را از راه‌های متفاوتی تفسیر کرد، مثلاً با گفتن اینکه وجود سه زوج از ذرات (2و3)، (3و1)، (1و2) در مکان‌های معیّن و سرعت‌های معیّن، تقریباً رویدادهای مستقل از یکدیگر است، زیرا برهم‌کنش متقابل آن‌ها به‌سرعت با افزایش فاصله کاهش می‌یابد.
با جایگزین‌کردن f_3 از (6.49) در S_2, از (6.44)، و (6.45) دو معادلۀ دیفرانسیل‌انتگرالی برای f_1 و f_2 به‌دست می‌آید که نظامی بسته درست می‌کند و می‌توان آن را با تقریب‌های مناسب حلّ کرد. (اگر f_3 را از راه‌حلّ f_1,f_2 به‌کمک (6.49) محاسبه کنیم، رابطۀ (6.40) برای q=3 الزاماً صدق نمی‌کند؛ و این هزینه‌ای است که برای دقّت در شیوۀ کیرک‌وود پرداخت می‌شود).
همۀ خواص یک سیال از آن نوع را که در اینجا بحث کردیم (ذرات دارای نیروهای مرکزی)، می‌توان با عبارات n_2 (1,2) نوشت، که تابعی معلوم برای آزمایش‌گرها در پژوهش‌هایشان با پرتو ایکس دربارۀ سیالات چون تابع توزیع شعاعی است. روشی که توضیح دادیم، فرمولی صریح برای معادلۀ حالت و انرژی است؛ این روش همچنین امکان می‌دهد تا به بحث دربارۀ فردیّت بپردازیم که حالت گازی را از حالت سیّال متمایز می‌کند. امّا من نمی‌توانم به‌تفصیل در اینجا وارد این بحث شوم.
دربارۀ بی‌تعادلی، می‌توان معادله‌های دیفرانسیلی برای شار مکانیکی و گرمایی از راهی درست به‌دست آورد؛ نتیجه البتّه به‌صورت معادله‌های (4.9) کوشی برای واسطه‌های پیوسته است، امّا با تانسور تنشی T_αβ که می‌توان آن را به‌وضوح با عبارات مشتق نسبت به زمان تانسور کرنش (یا مشتقّ سرعت در فضا) و گرادیان دما نشان داد. به‌این‌ترتیب عبارات ضرایب چسبندگی و رسانایی گرمایی به‌دست می‌آید. این نتایج به‌سبب سهم نیروهای متقابل با فرمول‌های شناخته‌شدۀ گازها متفاوت است. بااین‌همه نمی‌توانم بیشتر به این موضوع بپردازم، چون ما را از موضوع اصلی این درس‌ها دور می‌کند، و من هم حالا می‌خواهم به آن‌ها باز گردم (ضمیمۀ 33).

فصل هفتم
تصادف و تقدّم
از آنچه در‌بارۀ مسئلۀ عمومی تصادف و علّت گفتیم، چه می‌آموزیم؟ نمونۀ گازها پیشتر به ما نشان داد که واردکردن تصادف و احتمالات به قوانین حرکت، برگشت‌ناپذیری ذاتی را از آن‌ها حذف می‌کند. به‌عبارت دیگر، به مفهومی از زمان می‌انجامد که جهتی معیّن دارد که در اصل تقّدم در رابطۀ علّت و معلول صدق می‌کند. این روش صوری مشتمل بر تعریف مقداری خاص است، یعنی آنتروپی:

(1.7) S=-k (∫▒ flog⁡fdpdq)/(∫▒ fdpdq)
که نشان می‌دهد با گذشت زمان هرگز کاهش نمی‌یابد: dS/dt⩾0. در مورد گاز، تابع f همان تابع توزیع f_1 از مولکولی منفرد است، که تابعی از نقطۀ p,q از فضای فاز این مولکول است.
همان انتگرال نشان‌دهندۀ آنتروپی نظامی دلخواه در مکانیک آماری است، چنانچه f جایگزینf_N شود، تابع توزیع در فضای فاز 2N بعدی است؛ و در همۀ روابط تعادل در ترمودینامیک عادی صدق می‌کند.
درمورد یک گاز، مشتقّ زمانی S را می‌توان به‌کمک معادلۀ برخورد بولتزمن تعیین کرد، و همواره می‌بینم که:

(2.7) dS/dt⩾0
بر این نکته تأکید کردم که این مطلب در تضاد با برگشت‌پذیری مکانیک نیست؛ زیرا برگشت‌پذیری به تابع توزیع مولکول‌هایی ارجاع می‌دهد که برهم‌کنشی با یکدگر ندارد و در رابطۀ:

(3.7) ∂f/∂t=[H,f]
صدق می‌‌کند، درحالی‌که مولکول‌هایی که باهم برخورد می‌کنند در رابطۀ:

(4.7) ∂f/∂t=[H,f]+C
صدق می‌کنند، که در آن C انتگرال برخورد است. بنابراین برگشت‌ناپذیری از تبعات واردکردن صریح بی‌اطّلاعی در قوانین بنیادی است.
همین ملاحظات دربارۀ هر نظامی صادق است. اگر f را تابعی از نظام بستۀ f_N با N ذرّه بدانیم، (7.3) باز هم پابرجاست، و اگر راه‌حل آن را در (7.1) وارد کنیم، به‌سادگی میتوان نشان داد که dS/dt=0 است.
برگشت‌ناپذیری را تنها می‌توان با حذف صریح بخشی از نظام، از علیّت فهم کرد. می‌توانیم این شرط را ندیده بینگاریم که نظام بسته است، یا بر مکان و سرعت ذرات نظارت داریم. نکتۀ چشمگیر در اینجا این است که این فرض به‌تنهایی کفایت می‌کند تا ذرّه‌ای منفرد در بیرون از نظارت ما باشد؛ زیرا درآن‌صورت ناگزیر نظامی از N+1 ذرّه داریم، درحالی‌که همۀ توجّه خود را تنها بر N ذره متمرکز کرده‌ایم. تابع افراز این N ذره در معادلۀ (6.44) برای q=N صدق می‌کند:

(5.7) (∂f_N)/∂t=[H_N,f_N ]+S_N
که در آن S_N انتگرالی بر f_(N+1) است، که با (6.45) از راه q=N به‌دست آمده است. درمورد راه‌حلّ معادلۀ (7.5) آنتروپی ثابت یا فزاینده است. و این به‌طریق‌اولی همان مورد است، اگر نظام N ذرّه به نظام‌های پیچیده‌تری جفت شود که از نظارت ما بیرون باشد (ضمیمۀ 24).
S تا زمان رسیدن به تعادل آماری فزاینده است، و می‌توان نشان داد که توزیع نهایی به شکل بندادی ذیل است:
(6.7) f_N=e^(α-βE),H(p,q)=E
این نتیجه به گمانم پاسخ نهایی به این سؤال قدیمی‌ است که چگونه می‌توان برگشت‌پذیری مکانیک کلاسیک را با برگشت‌ناپذیری ترمودینامیک آشتی داد. برای این کار باید از الزام اصل تعیین سرنوشت هر ذرّۀ منفردی به‌دلخواه
خود صرف‌نظر کنیم. پس باید از مکانیک تخطّی کنیم، تا به ‌نتیجه‌ای برسیم که آشکارا در تضاد با آن است. امّا می‌توانیم بگوییم: این تخطّی شاید به‌دلایل عملی لازم باشد، زیرا هیچ‌کس نمی‌تواند نه همۀ ذرات را مشاهده کند، و نه معادله‌های بی‌شمار آن‌ها را حل کند – درواقع، جهان برگشت‌پذیر است، و ترمودینامیک تنها شگردی برای دستیابی به نتایج احتمالی است، و نه مطمئن. این دیدگاهی است که در بسیاری از نمایش‌های مکانیک آماری اتّخاذ شده است. اگر کسی این اصل را بپذیرد که مکان و سرعت همۀ ذرات را می‌توان، دست‌کم ازنظر اصولی تعیین کرد، به‌دشواری می‌توان حرفش را نقض کرد – امّا آیا چنین نظری را می‌توان درواقع حفظ کرد؟ دیدیم که حرکت براونی حدّی بر همۀ مشاهده‌های ما، حتّی در مقیاس بزرگ می‌نهد. نیاز به ذهنی تواناست که به انجام کارهایی باشد که ما حتّی نمی‌توانیم با ابزارهای فنّی بسیار ‌پیشرفتۀ خود آن‌ها را انجام دهیم. و دیگر آنکه، فکر نظامی کاملاً بسته، چیزی درحدود وهم است.
گمان می‌کنم بنیان آماری ترمودینامیک حتّی بر مبنای مکانیک کلاسیک کاملاً رضایت‌بخش باشد.
امّا در عمل، مکانیک کلاسیک نشان داد که کاربرد آن نقص دارد، آن هم درست در حوزۀ اتمی. پس این وضع را باید ناگزیر در پرتو مکانیک کوانتومی ازنو بازبینی کرد.

فصل هشتم
مادّه
جرم، انرژی و تابش
برای اینکه موضوع اصلی را از خاطر نبرم، به هر بخش از سرفصل‌های این درس‌ها کلماتی مانند «علّت»، «هم‌جواری»، «تقدّم»، و «تصادف» را افزوده‌ام. سرفصل «ماده» در اینجا غریبه به نظر می‌رسد؛ زیرا فلسفۀ کلاسیک به ما می‌آموزد، ماده مفهومی بنیادی از نوعی خاص است، کاملاً متفاوت با علت، هرچند در همان مرتبه از رده‌بندی مفاهیم جای دارد: «مقوله‌ای» دیگر از مصطلحات کانت. این آیین به‌طور کلّی درآن زمان، یعنی پیش از اکتشافات بزرگ، که اکنون به آن‌ها می‌پردازیم، پذیرفته شده بود؛ زمانی بود که در فیزیک دوگانگی «نیرو و ماده» حاکم بود (عنوان کتاب معروف بوشنر). در فیزیک امروزی این دوگانگی مبهم است و تااندازه‌ای منسوخ. گام‌های اوّلیّه در این جهت را در بررسی‌ای که پیشتر کردیم، تشریح کردیم: گذار از نیرو‌های نیوتونی ازفاصله به نیرو‌های تماس، در آغاز در مکانیک، و سپس در الکترومغناطیس، و سرانجام در جاذبه؛ به‌عبارت دیگر پیروزی فکر هم‌جواری. اگر نیرو در «فضای خالی» با سرعتی معیّن پخش شود، فضا نمی‌تواند کاملاً خالی باشد؛ پس باید چیزی در آنجا باشد تا نیرو را حمل کند. پس فضا پر از اتر است، نوعی ماده شبیه به مادۀ عادی از بسیاری از جهات، که می‌تواند تنش و کرنش ایجاد کند. هرچند این نیروهای تماسی از قوانینی متفاوت با قوانین حاکم بر کشسانی اطاعت می‌کند، بازهم نیروهایی در اتر متفاوت با حامل وجود دارد. امّا این تفاوت حالا اندک‌اندک درحال ازبین‌رفتن است. نسبیّت به ما نشان داد که اتر در خاصیّت «تعیین مکان» با مادۀ عادی چیز مشترکی ندارد: یعنی نمی‌توان گفت «من اینجا هستم»؛ راهی فیزیکی برای ‌شناسایی نقطه‌ای در اتر وجود ندارد، آن‌طورکه می‌توان نقطه‌ای را در آب جاری با نشانه‌ای کوچک، مانند ذره‌ای از گرد‌و‌خاک، ردیابی کرد. تنش الکتریکی و مغناطیسی چیزی در اتر نیست، بلکه «خود اتر» است. پس سؤال دربارۀ حامل بی‌معناست.
امّا مسئله به تفسیر باز می‌گردد. فیزیک‌دانان فکری گشوده دارند؛ آن‌ها به‌استفاده از عبارات منسوخی چون اتر ادامه می‌دهند و زیانی هم به کسی نمی‌رسد. از دید آن‌ها مصطلحات تازمانی‌که قانون کمّی تازه‌ای به‌وجود نیامده باشد، چندان جدّی نیست؛ امری که ازقضا اینجا اتّفاق افتاده است. در اینجا به قانونی اشاره می‌کنم که جرم m، انرژی ϵ و سرعت نور c را به‌یکدیگر مرتبط می‌کند (ضمیمۀ 25):
(1.8) ϵ=mc^2
که پس از آنکه در موارد خاص صادق بود، اینشتین آن را به‌طور کلّی برقرار کرد. استدلال او بر وجود فشار نور استوار بود، که آن را از راه تجربه، و همچنین از معادله‌های الکترودینامیکی ماکسول نتیجه گرفته بود. اگر جسمی با جرم M مقدار کاملاً معیّنی از نور در باریکه‌ای موازی گسیل کند، که همۀ انرژی الکترومغناطیسی ϵ راحمل می‌کند، متحمّل پس‌زنی‌ای می‌شود که متناظر با تکانۀ انتقال‌یافتۀ ϵ/c است. پس در جهت عکس حرکت می‌کند، و برای آنکه از دست برخورد با قانون مکانیکی بگریزد، که بر اساس آن مرکز جرم یک نظام را نمی‌توان با فرایندی داخلی تسریع کرد، پس باید به باریکۀ نور نه تنها انرژی ϵ و تکانۀ ϵ/c را، بلکه همچنین جرم ϵ/c^2 را نسبت داد، و فرض کرد جرم M از جسمی که نور گسیل می‌کند، به‌همان اندازۀ m=ϵ/c^2 جرمش کاهش می‌یابد.
در نظریّۀ نسبیّت این نتیجه کاملاً طبیعی است. به‌علاوه، عبارت وابستگی جرم به سرعت را نشان می‌دهد؛ پس داریم:

(2.8) m=m_0/√((1-v^2/c^2 ) )
که در آن m_0 را جرم سکون می‌خوانند. انرژی ϵ و تکانۀ p چنین است:
(3.8) ϵ=mc^2,□( ) p=mv
چندان نیاز به یادآوری نیست که چگونه این نتیجۀ به‌دست‌آمده از «ناب‌ترین علم»، به‌تازگی با اجرای «فنّی» کاری مهیب و ترسناک در نیو‌مکزیکو، ژاپن، و بیکینی تأیید شد. تردیدی نیست که مادّه و انرژی یکی است. از دوگانگی کهن میان نیرو و ماده، که نیرو بر آن کنشی دارد، باید دست کشید، و از این فکر اصیل که نیرو را باید علّت حرکت دانست. می‌بینیم چگونه مفاهیم کهن را تجربه‌های نو مستحیل می‌کند. همین فرایند مرا به تعریف انتزاعی علیّت کشاند که تنها بر مفهوم فیزیکی وابستگی استوار است، و فراتر از نظریّه‌های خاص می‌رود که با وضع تجربه تغییر می‌کند.
باز می‌گردیم به هدف عاجل خودمان. ازقانون اینشتین آموختیم که مفهوم اتمی‌بودن ماده الزاماً به مفهوم اتمی‌بودن انرژی وابسته است. در واقع این پلانک بود که پنج سال پیش از آنکه اینشتین رابطۀ خود میان جرم و انرژی را منتشر کند، به وجود کوانتاهای انرژی با قوانین تابش گرمایی دست یافته بود.
کشف پلانک نخستین فصل را در تاریخ نظریّۀ کوانتومی، در سال‌های 1900 تا 1913 گشود؛ فصلی که به آن می‌توان عنوان «در جست‌وجوی کوانتوم با روش‌های ترمودینامیکی و آماری» را نهاد. فصل بعدی به سال‌های 1913 تا 1925 می‌پردازد، یعنی زمانی که شیوه‌های طیف‌نمایی و الکترونیکی رواج یافته بود، درحالی‌که فصل آخر به تشریح پیدایی و گسترش مکانیک کوانتومی می‌پردازد.
شاید نتوانم به جزئیّات این سیر طولانی و خسته‌کننده بپردازم، امّا به چند نکته دراین‌باره بسنده می‌کنم که تااندازه‌ای ناشناخته مانده و در کتاب‌های درسی‌ هم یافت نمی‌شود، ازجمله تذکاری دربارۀ جست‌وجوی کوانتوم حرارتی-آماری.
مسئله‌ای که پلانک حلّ کرد، تعیین چگالی تابش ρ در حالت تعادل ماده در دمای معلوم T چون تابعی از T و بسامد ν بود، به‌طوری‌که ρ(ν,T)dν انرژی در واحد حجم در بازۀ بسامدی dν است. چند خاصیّت این تابع را با روش‌های کاملاً ترمودینامیکی، می‌شناختند: وابستگی دمایی تابش کلّ ∫ρdν=σT^4 (قانون استفان و بولتزمن) و این خاصّیت که ρ/ν^3 تنها تابعی از خارج‌قسمت ν/T است. مسئله‌ای که باقی می‌ماند تعیین این تابع بود و برای این کار به‌ناچار باید از روش‌های آماری استفاده می‌شد.
می‌توان به دو شیوه عمل کرد. یا باید تابش را در حالت تعادل با مجموعه‌ای از اتم دانست، که آن‌‌ها را در برهم‌کنش خود با تابش، می‌توان با نوسانگرهای هماهنگ جایگزین کرد؛ دراین‌صورت می‌توان انرژی میانگین این‌ها را با عبارت چگالی تابش محاسبه کرد و معلوم می‌شود که متناسب با آن است. ماکس پلانک این روش را بیشتر می‌پسندید؛ یا خود تابش را نظامی از نوسانگر‌ها بدانیم که هرکدام نمایندۀ دامنۀ موجی تخت است. ری‌لای و بعد‌ها جینس از این روش استفاده کردند. در هردو مورد، رابطۀ میان را به‌دست می‌دهد انرژی میانگین u(ν) بسامد نوسانگر‌ها ν و چگالی تابش :ρ

(4.8) ρ=(8πν^2)/c^3 u
که برای تعیین u کفایت می‌کند.
انجام این کار با به‌اصطلاح قانون پارتیسیون برابر مکانیک آماری ممکن است. فرض کنیم همیلتونی H نظامی به شکل زیر باشد:

(5.8) H=a/2 ξ^2+H^’
که در آن ξ هر مختصّه یا تکانه باشد و H^’ همۀ مختصات و تکانه‌ها را در خود داشته باشد به‌جز ξ. پس مقدار میانگین سهم آن در انرژی این متغیر ξ این چنین است (ضمیمۀ 26):

(6.8) (a/2 ξ^2)┴(______)=k/2 T
که مستقل از ثابت a است – که برای همۀ متغیرهای آن تشریح یکسان است.
اگر آن را به مجموعه‌ای از نوسانگرهای بسامد ν به‌کار ببندیم، که در آن:

(7.8) H=1/2m (p^2+4π^2 ν^2 q^2 )
برای انرژی میانگین به‌دست می‌آوریم:
(8.8) u=kT
پس، از (8.4) به‌دست می‌آید:

(9.8) ρ=(8πν^2)/c^3 kT
این را فرمول تابش ری‌لای-جینس می‌نامند. این فرمول نتیجه‌ای مستحکم از مکانیک آماری کلاسیک است، هرچند آشکارا با واقعیّات در تضاد است. این فرمول حتّی نمی‌تواند تابش کلّی معیّنی را نشان دهد، زیرا ρ مانند ν ˙^2 با بسامد افزایش می‌یابد. امّا این قانون چندان هم بیهوده نیست، زیرا به‌خوبی با اندازه‌گیری‌های بسامدهای کوچک (امواج بلند) یا دماهای بالا کاربرد دارد. در انتهای دیگر طیف، چگالی انرژی مشاهده‌شده بازهم کاهش می‌‌یابد. وین برای این حوزه قانونی تجربی را پیشنهاد کرد که متناظر با این فرض در (8.4) است که انرژی نوسانگر به شکل زیر است:
(10.8) u=u_0 e^(-ϵ_0/kT)
این قانون شباهت بسیاری به توزیع بولتزمن دارد. بنا به قانون جا‌به‌جایی وین، این قانون برای مقادیر بالای نسبت ν/T صادق است، و هردو ثابت u_0 و ϵ_0 باید متناسب با ν باشد؛ امّا معنی آن‌ها چندان روشن نیست.

شکل 1
این وضعی بود که پلانک با آن روبه‌رو شد: دو مورد محدود‌کننده که فرمول-های (8.8) و (8.10) ارائه می‌دهد، اوّلی برای T بزرگ معتبر بود، و دومی برای T کوچک. پلانک اهتمام به کشف فرمولی میان این دو کرد؛ دشواری این کار را با نگاهی به دو عبارت ریاضی یا به دو گراف متناظر در شکل یک می‌توان متوجه شد. پلانک تصمیم گرفت انرژی را متغیری بداند که به‌کار درون‌یابی نمی‌آید، پس به دنبال کشف انرژی دیگری رفت. او این انرژی را در آنتروپی S یافت. در اینجا من استدلال پلانک را به‌صورتی کمی متفاوت ارائه می‌دهم (به‌سبب کار اینشتین، 1905)، که در آن آنتروپی به‌صراحت وارد نمی‌شود، بلکه فرمول‌های مکانیک آماری به‌کار گرفته می‌شود. با شروع کار با قانون توزیع بولتزمن، که بنا بر آن احتمال یافتن نظامی در حالتی با انرژی ϵ متناسب با e^(-βϵ) است، که در آن β=1/kT است، و می‌توانیم میانگین مربع افت‌وخیز انرژی را:

((Δϵ)^2 ) ̅=((ϵ-ϵ ‾)^2 ) ̅=(ϵ^2 ) ̅-ϵ ‾^2
با عبارات میانگین خود انرژی ϵ ‾=u بیان کنیم، درصورتی‌که آخری را تابعی از دما یا β بدانیم (ضمیمۀ 20.10):

(11.8) ((Δϵ)^2 ) ̅=-du/dβ
اکنون این تابع u(β) برای دومورد محدود کننده شناخته شده است: T بزرگ یا β کوچک، و T کوچک یا β بزرگ، از (8.8) یا (8.10):

(12.8) u={■(β^(-1) “for small ” β@u_0 e^(-βϵ_0 ) ” for large ” β)┤
پس خواهیم داشت:

(13.8) ((Δϵ)^2 ) ̅=-du/dβ={█(&β^(-2)=u^2,” small ” β ;@&u_0 ϵ_0 e^(-βϵ_0 )=ϵ_0 u,” large ” β )┤
پلانک چنین استدلال می‌کند: دو مورد محدود‌کنندۀ متناظر با مزیّت دو مورد با علت متفاوت است، هرچه بخواهد آن دو باشد. قضیّۀ معروف آمار می‌گوید میانگین مربع افت‌وخیزهای ایجاد‌شده به‌دلیل استقلال علّت‌های آن‌ها، هم‌افزایی دارد. فرض کنیم شرط استقلال، اگر هر دو علت هم‌زمان عمل کند، در این جا برآورده شده باشد. پس، باید داشته باشیم:

(14.8) ((Δϵ)^2 ) ̅=-du/dβ=ϵ_0 u+u^2
این معادلۀ دیفرانسیلی برای u است، و راه‌حلّ کلّی آن چنین است:

(15.8) u=ϵ_0/(e^(α+βϵ_0 )-1)
ثابت انتگرال‌گیری α باید ناپدید شود تا موارد محدود‌کنندۀ (8.15) را به‌آسانی داشته باشیم. قانون جا‌به‌جایی وین‌، که طبق آن ρ/ν^3=8πu/c^3 ν فقط به T/ν وابسته است، به ϵ_0=hν, می‌انجامد، که در آن h ثابتی است معروف به ثابت پلانک:

(16.8) u=hν/(e^βhν-1) ,□( ) β=1/kT
نتیجه آنکه فرمول پلانک برای میانگین انرژی نوسانگر چنین است که از آن چگالی تابش بر اساس (8.9) خواهد بود؛ درون‌یابی درستی که معلوم شد با این تجربه در مطابقت کامل است، پلانک را واداشت تا به جست‌و‌جوی دلیلی عمیق‌تر برآید و آن را در فرض انرژی کوانتوم‌ها با اندازۀ معیّن ϵ_0=hν بیابد. اگر انرژی مضربی از ϵ_(0 ) باشد، انتگرال (6.32) را می‌توان با جمع:

(17.8) Z=∑_(n=0)^∞▒  e^(-βϵ_0 n)=1/(1-e^(-βϵ_0 ) )
جایگزین کرد و سپس روش معمولی، که در بخش 6 به آن اشاره کردیم، یک‌سره به عبارت (8.16) برای انرژی نوسانگر u می‌انجامد.
پلانک عقیده داشت ناپیوستگی انرژی خاصیتی از اتم است، که نوسانگرها در برهم‌کنش خود با تابش، که خود نیز رفتاری کاملاً عادی دارد، آن را نشان می‌دهد. هفت سال بعد اینشتین نشان داد هر زمانی که به‌واقع نوسان در نظام اتمی رخ می‌دهد، انرژی آن از فرمول (8.16) پلانک تبعیّت می‌کند؛ اشارۀ من به نظریّۀ گرمای ویژۀ مولکول‌ها و جامدات است، که بیش از یک فصل نو در فیزیک گشود. امّا این موضوع خارج از حوزۀ این درس‌هاست.
امّا اینشتین پیشتر در سال 1905 به این نتیجه رسیده بود که تابش به‌خودی‌خود به‌اندازه‌ای‌که پلانک فرض می‌کرد بیکار نبوده است، یعنی کوانتوم‌ خاصیت ذاتی تابش است و باید آن را نوعی ذرۀ درحال پرش در آن دانست. در کتاب‌های درسی این احیای دوبارۀ نظریّۀ ذره‌ای نور نیوتون با توضیح اینشتین دربارۀ اثر فوتوالکتریک و پدیدۀ مشابهی همراه است که در آن انرژی جنبشی الکترون با نور و یا به‌عکس تولید می‌شود. این نکته کاملاً درست است، امّا این هم تمامی داستان نیست. بحثی آماری دوباره درگرفت که اینشتین در نتیجۀ آن فرضیّۀ کوانتوم‌های نور را، که اکنون فوتون می‌نامیم، ارائه داد.
اینشتین نسبت به دو مورد محدودکنندۀ (8.13) دیدگاهی متفاوت داشت. فرض کنید نظریّۀ موجی نور درست باشد، پس تابش حرارتی ملغمه‌ای آماری از امواج هماهنگ در همه جهات، نوسان و دامنه است. پس می‌توانیم میانگین انرژی تابش و افت‌وخیز آن را در بخشی معلوم از حجمی بزرگ تعیین کنیم. چنین محاسبه‌ای را ه. آ. لورنتس فیزیک‌دان هلندی انجام داد، با این نتیجه که ((Δρ)^2 ) ̅=ρ ‾^2 برای هر بسامدی است، یا درصورتی‌که با عبارات نوسانگر متناظر ((Δϵ)^2 ) ̅=u^2 بیان شود، در مطابقت با مورد ری‌لای – جینس (β کوچک، T بزرگ) است که در (8.13) آمده است. پس باید چیز دیگری فراتر از موج باشد که برای آن ((Δϵ)^2 ) ̅=ϵ_0 u باشد؛ این چه چیزی می‌تواند باشد؟
فرض کنیم کوانتوم‌های پلانک به‌واقع در تابش وجود داشته باشند و تعداد آن‌ها n در واحد حجم و بازۀ بسامدی باشد. چون هرکوانتومی انرژی ϵ_0=hν دارد، پس باید ϵ ‾=u=n ‾ϵ_0 و ((Δϵ)^2 ) ̅=ϵ_0^2 ((Δn)^2 ) ̅ را داشته باشیم. درنتیجه قانون افت‌وخیز وینی در مورد (β بزرگ و T کوچک) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:
(18.8) ((Δn)^2 ) ̅=n ‾
این فرمول شناخته‌شدۀ آماری به وضع زیر مربوط است: شمار زیادی از اشیاء به‌طور تصادفی در حجمی بزرگ توزیع شده و n شمار موجود در قسمتی از آن است. درنتیجه فقط رابطۀ ( 8.18) را میان متوسط n ‾ و میانگین مربع افت‌وخیز خواهیم داشت (ضمیمۀ 20). به‌این‌ترتیب اینشتین به این نتیجه کشانده شد که بخش وینی افت‌وخیز انرژی از راه کوانتوم به‌حساب آمده است، که چون ذرّه‌ای مستقل عمل می‌کند؛ اینشتین این نکته را با احتساب نه تنها انرژی، بلکه تکانۀ hν/c کوانتوم، و پس‌زنی اتمی که آن را ایجاد کرده است، تأیید کرد. درست همین نتیجه بود که او را ترغیب کرد تا در پی شواهد تجربی برآید و کار به‌جایی کشید که به تفسیر شناخته‌شدهۀ اثر فوتوالکتریک خود رسید که آن را بمباران فوتونی می‌دانست که الکترون‌ها را با انتقال انرژی فوتون‌ها از فلز به آن‌ها بیرون می‌راند.
درصورتی‌که به شمار فوتون‌ها آن را بیان کنیم، قانون افت‌وخیز ترکیبی (8.14) چنین خواهد بود:

(19.8) ((Δn)^2 ) ̅=-1/ϵ_0 (dn ‾)/dβ=n ‾+n ‾^2=n ‾(n ‾+1)
با راه‌حلّ کلّی:

(20.8) n ‾=1/(e^(α+βϵ_0 )-1)
که در آن α=0 به مقدار صحیح برای T بزرگ می‌انجامد. امّا اگر α≠0 باشد چه پیش می‌آید؟
هر فیزیک‌دانی که به فرمول اخیر نگاه کند، اذعان می‌کند آن را چون قانون توزیع به‌اصطلاح بوز- اینشتین برای گازی کامل می‌داند، که متشکّل از ذرّات تشخیص‌ندادنی از یکدیگر، مطابق نظریّۀ کوانتومی است. این نکته بسیار اهمیّت دارد که بگوییم در این مرحلۀ آغازین نظریّۀ کوانتومی، پلانک و اینشتین به نتیجه‌ای رسیده بودند که مدّتی بعد کشف شد (ضمیمۀ 25، 32) ( بازهم با شرکت اینشتین). در واقع درون‌یابی پلانک را می‌توان، با عبارات امروزی، اولین کوشش کاملاً موفّق و کاملی دانست تا میان وجه موجی و وجه ذرّه‌ای در نظامی با مؤلّفه‌های یکسان و مستقّل ارتباطی برقرار کند، چه فوتون باشد و چه اتم.
در این بخش به‌اختصار به تذکار دیگر اینشتین می‌پردازم، که به دورۀ بعدی نظریّۀ کوانتومی مربوط می‌شود؛ زمانی که نظریّۀ اتمی بور کاملاً جا‌افتاده بود، به‌عبارتی به وجود حالت‌های مانا در اتم، که فرقشان در میزان انرژی‌ای است که در خود دارند. فرض کنیم اتمی ‌بتواند در حالت پایین 1 و حالت بالای 2 باشد؛ گذارهای ممکن با گسیل یا با جذب کوانتوم‌های نور ممکن است، ϵ_2-ϵ_1=ϵ_0 و درنتیجه با بسامد ν=ϵ_0/h ازسوی دیگر، بنا بر قانون بولتزمن، شمار نسبی اتم‌ها در هر دو حالت طبق:

(21.8) N_2/N_1 =e^(-βϵ_0 )
خواهد بود. حالا می‌توانیم (8.20) را، درصورتی‌که α=0 باشد، به‌صورت زیر بنویسیم:

(n ‾+1) e^(-βϵ_0 )=n ‾
یا با استفاده از (8.21) به‌صورت:
(22.8) n ‾N_2+N_2=n ‾N_1
دربارۀ این معادله اینشتین چنین برداشتی داشت: بخش سمت چپ آن تعداد کوانتوم‌های گسیل‌شده در واحد زمان از N_2 اتم در حالت بالا را نشان می‌دهد، و بخش سمت راست کوانتوم‌های جذب‌شدۀ N_1 اتم در حالت پایین را، و هردو فرایند باید مسلمّاً در وضعیت تعادل یکدیگر را لغو کند.
جذب آشکارا متناسب با تعداد اتم در حالت پایین N_1 است، و شمار n ‾ فوتون‌های حاضر، یعنی n ‾N_1 دربارۀ گسیل، عبارت N_2 به‌معنای فرایندی خود‌به‌خود، مستقل از وجود تابش است؛ این نکته متناظر با تابش شناخته‌شدۀ امواج الکترومغناطیسی است که نظام باردار ارتعاشی در آن دست‌اندرکار است. عبارت دیگر n ‾N_2 پدیدۀ تازه‌ای بود که اوّلین بار در این مقاله اینشتین آمده بود (بعداً تجربه آن را تأیید کرد)، به‌عبارتی گسیل القایی متناسب با شمار فوتون‌های حاضر.
اگر شمار گسیل‌های خودجوش را با AN_2، و گسیل‌های القایی را با B_21 N_2 n ‾,، و جذب را با B_12 N_1 n ‾, نشان دهیم از (8.22) چنین بر‌می‌آید که ضرایب احتمال (احتمال در واحد زمان، برای هر اتم، و برای هر کوانتوم نوری) همه باهم برابر است:
(23.8) A=B_12=B_21
این نتیجه تبعاتی بسیار گسترده دارد. نخستین آن وجود ضرایب احتمال متقارن B_12=B_21 برای گذار میان دو حالت القاء‌شده با تابش است. این سرنخی بود برای کشف صورت ماتریسی مکانیک کوانتومی.
نکتۀ دوم این است که به فرایند در زمان و نه به تعادل توجّه کنیم؛ تأملات اینشتین یک‌سره ما را به معادلۀ زیر می‌برد:

(24.8) (dn ‾)/dt=(dN_1)/dt=-(dN_2)/dt=A{n ‾(N_2-N_1 )+N_2 }
که شیمی‌دانان از آن برای محاسبۀ سرعت واکنش استفاده می‌کنند. در مصطلحات آن‌ها، سه واکنش رقیب بایکدیگر داریم، به‌عبارتی دو واکنش دواتمی و یک واکنش یک اتمی. امّا واکنش‌های تک‌اتمی اصیل در شیمی معمول کم است، و در شیمی هسته‌ای فراوان؛ تا همین اواخر هم تنها آن‌ها را می‌شناختند، به‌عبارتی تلاشی پرتوزای طبیعی. اگر چگالی تابش صفر باشد، n ‾=0، خواهیم داشت:

(25.8) -(dN_2)/dt=AN_2
که به‌درستی همان قانون اوّلیّۀ واپاشی پرتوزا، بنا بر راترفورد و سودی است. فرض این قانون این است که فروپاشی‌ها کاملاً تصادفی و مستقل از یکدیگر است.
پس تفسیر اینشتین به‌معنای کنارگذاشتن تشریح علّی و واردکردن قوانین تصادف در برهم‌کنش میان ماده و تابش نیست.
هرچند برنامۀ من مرا به تمام تاریخچۀ فیزیک کشاند، به‌خوبی می‌دانم که تشریحی یک‌جانبه از آنچه درواقع روی داده، به‌دست داده‌ام. بر شما پوشیده نیست که عقیده دارم پیشرفت در فیزیک اساساً به‌سبب روش استقرایی است (که امیدوارم کمی بعد دربارۀ آن برایتان بگویم). حالا شاید تجربه‌گرایان به‌حق گله کنند که از کارها و دستاوردهایشان چیز چندانی گفته نشده است. امّا چون به گسترش افکار و مفاهیم توجّه دارم، شاید اجازه داشته باشم به مهارت و نبوغ خلّاق تجربه‌گرها اذعان کنم و از نتایج کارهایشان برای هدفی که خود دارم استفاده کنم، بی‌آنکه سپاس حود را بیشتر به زبان بیاورم.
حدود سال‌های 1900، هنگامی که نظریّۀ کوانتومی از دل پژوهش در‌بارۀ تابش بیرون جست، پر از کشفیّات تجربی بود: پرتوزایی، پرتو ایکس، و الکترون مهم‌ترین آن‌هاست.
از نظر سهم تصادف در فیزیک، پرتوزایی اهمیّت خاصّی داشت. همان‌طورکه پیشتر گفتم، قانون واپاشی بیان رویدادهای تصادفی مستقل بود. به‌علاوه معلوم شد که اثرهای فیزیکی بر ثابت واپاشی کاملاً بی‌تأثیر است. البته باید برخی پارامتر‌های داخلی در اتم وجود داشته باشد که زمان انفجارش را معّین می‌کند. امّا حالا هم این وضع با آنچه در‌بارۀ نظریّۀ گازها گفتیم تفاوت دارد: در اینجا پارامتر‌های داخلی را می‌شناسیم، یا گمان می‌کنیم آن‌ها را می‌شناسیم، و فرض این است که این پارامترها مختصات و تکانه‌های عادی است؛ آنچه نمی‌دانیم مقادیر کنونی آن‌ها در هر برهه از زمان است، و ناگزیر به‌سبب فقد دانشی گسترده به آمار پناه می‌بریم. ازسوی دیگر، در زمینۀ پرتوزایی، هیچ‌کس نمی‌داند این پارامترها چه می‌تواند باشد، و ماهیّت آن‌ها ناشناخته ماند. بااین‌حال، امید می‌رفت این مسئله حلّ شود و آمار پرتوزای به آمار مکانیکی ساده تقلیل پیدا کند. امّا آنچه در عمل پیش آمد، درست به‌عکس بود.
پرتوزایی برای مسئلۀ ما هم اهمیّت دارد، زیرا ابزاری برایمان فراهم می‌آورد تا دربارۀ ساختار داخلی اتم پژوهش کنیم. می‌دانیم چگونه راترفورد از ذرات آلفا چون گلوله‌هایی استفاده کرد تا به درون اتم نفوذ کند و هستۀ آن را بیابد. این نتیجه، به‌همراه کشف الکترون به‌دست ج. ج. تامسون، راه را برای مدل جهانی اتم گشود: شماری الکترون به ‌دور هسته، که نیروی الکتریکی آن‌ها را به ‌دور آن نگه می‌دارد. مشکل بنیادی این مدل در بی‌تعادلی مکانیکی آن است.
تا‌زمانی‌که دربارۀ نیروهایی که ذرات اوّلیّه را در اتم باهم نگاه می‌داشت، چیزی نمی‌دانستیم، می‌توانستیم قانونی از نیرو را به‌گونه‌ای فرض کنیم که حالت‌های تعادل را ممکن می‌کرد. . مدلی هوشمندانه از این نوع را مدیون ج. ج. تامسون هستیم. امّا این را هم می‌دانیم که نیروها از نوع الکرواستاتیک بود، که از قانون کولن تبعیّت می‌کرد، و چنین نیروهایی هرگز نمی‌توانست پایداری فوق‌العادۀ اتم‌های به‌فعل را تضمین کند که پس از میلیاردها برخورد بی‌هیچ تغییری در ساختار خود همچنان پایدار ‌بماند. بور این مشکل را به واقعیّات طیف‌نمایی مرتبط می‌دانست، و نتیجۀ کارش مدل مشهور اوست که مبتنی بر مدارهای الکترونیکی «کوانتیده» بود.
همین‌که طیف‌نمایی را ذکر می‌کردم، از اینکه ناگزیز شدم حوزۀ پژوهشی بزرگی را به‌اجمال مرور کنم، بسیار متأسّف شدم.
کشف قوانین ساده در طیف خطّی درواقع دستاوردی بزرگ بود. بازهم مهم‌تر از فرمول‌های عددی، مانند آنچه صاحب‌مکتب سویسی بالمر برای طیف هیدروژن یافته بود، قاعدۀ ریتز بود (او نیز اهل سویس بود، امّا باتأسّف در جوانی درگذشته)، یعنی اصل ترکیبی؛ بنا بر این قاعده، بسامدهای خطوط طیفی گازها را می‌توان با تشکیل تفاوت‌های یک ردیف واحد از مقادیر T_1,T_2,T_3,…, به‌دست آورد که آن‌ها را ترم می‌نامند:
(26.8) ν_nm=T_n-T_m
هرچند همۀ این تفاوت‌ها چون خطوطی در طیف پدیدار نمی‌شود. فرمول بالمر دربارۀ هیدروژن موردی خاص است که در آن T_n=R/n^2 یعنی به‌صورت زیر است:

ν_2m=R(1/4-1/m^2 ) □( )(m=3,4,…)
فرمول (8.26) به بور سرنخی داد تا آن را در نظریّۀ کوانتومی به‌کار بندد. با ضرب‌کردن آن در ثابت h پلانک، او آن را چون تفاوت انرژی ϵ_nm=hν_nm میان دو حالت مانا با انرژی‌هایϵ_n=hT_n (n=1,2,…) تفسیر کرد. این تفسیر به‌معنای عمومیّت‌دادن همه‌گیر مفهوم پلانک از تراز انرژی گسستۀ نوسانگرها بود. او یک‌سره پایداری اتم را در برابر تأثیراتی با انرژی‌ای کوچک‌تر از انرژی آستانه‌ای تشریح می‌کند. تفاوت بین انتشار و جذب طیف (قبلی به صورت hν_n1=ϵ_n-ϵ_1، که در آن 1 به معنی حالت پایه است)، و جزئیّات آن را آزمایشهای مشهور فرانک و هرتس (با برانگیختگی طیف با بمباران الکترونی) تأیید کردند.
امّا من هم نمی‌توانم تشریح تمام‌وکمال سیر نظریّۀ کوانتومی را پی بگیرم، زیرا به‌معنای نوشتن دانشنامۀ فیزیک در بیست‌وپنج سال گذشته است. گزارش کوتاهی هم از دورۀ آغازین در اینجا آوردم، زیرا این روزها باب شده به فیزیک چون حاصل خرد ناب بنگریم. من چندان بی‌منطق نیستم بگویم فیزیک تنها با آزمایش ‌جلو می‌رود، بی‌آنکه فکر عمیقی در پس آن باشد، یا آنکه این نکته را رد کنم که به‌وجود‌آمدن مفاهیم نو تاحدودی بر اساس اصول فلسفی کلّی است. امّا بنا به تجربه‌ام و ذکر نام هایزنبرگ چون تأییدی بر آن، باید بگویم قوانین مکانیک کوانتومی فرایندی کند و خسته‌کننده داشته، که از تفسیر نتایج آزمایشگاهی به‌دست آمده است. سعی می‌کنم گام‌های اصلی این فرایند را به کوتاه‌ترین وجه ممکن ذکر کنم.
بااین‌همه نباید فراموش کرد این گام‌ها پله‌هایی مستقیم روبه‌بالا نیست، بلکه کوره‌راه‌هایی درهم پیچیده و مرتبط با هم است. امّا من ناگزیر باید حرفم را از جایی شروع کنم.
سئوال نخست این است آیا حالت‌های مانا، مدار‌های مکانیکی برگزیده‌ای است، و اگر چنین است، آن‌ها چه مداری است؟ نمونه‌به‌نمونه را (نوسانگر، دورانگر، اتم هیدروژن) را به‌کار می‌گیریم که در آن‌ها «شرایط کوانتومی» را یافته‌ایم (بور، ویلسون، زومرفلد)، که در آنجا هر مختصّۀ تناوبی q حرکت را می‌توان به شکل زیر نوشت:
(27.8) I=□(“∮” □( )) □( ) pdq=hn
که در آن p تکانۀ متناظر با q و انتگرال آن در یک تناوب است. قوی‌ترین استدلال نظری بر انتخاب انتگرال‌های I را ارنفست ارائه داد. او نشان داد اگر نظامی دست‌خوش اختلالات بیرونی آرام شود، I ناوردا می‌ماند و درنتیجه کاملاً بجاست آن را مساوی با مقدار hn «پرش» ناپیوسته بدانیم.
از میان این «ناورداهای بی‌دررو» I، به‌خصوص تکانۀ زاویه‌ای نظامی چرخشی وجود دارد و مؤلّفۀ آن در جهتی معلوم است؛ اگر هر دو ضرایب صحیحی از h باشد، نتیجۀ غریبی به‌دست می‌آید که اتم نمی‌تواند در همۀ جهات باشد، بلکه تنها می‌تواند در مجموعۀ برگزیدۀ معلومی وجود داشته باشد. این نکته را آزمایش معروف اشترن و گرلاخ تأیید کرد (انحراف باریکۀ اتمی در میدان مغناطیسی ناهمگون). افتخار می‌کنم که این کار در بخش تحت نظر من در فرانکفورت -کنار ماین انجام شد. اثر دیگری را به‌دشواری می‌توان یافت که بتواند انحراف از مکانیک کلاسیک را به این صورت بارز نشان دهد.
اعلان دیگری بر پیشرفت بیشتر، اصل تناظر بور بود. این اصل می‌گوید هرچند مکانیک معمول در فرایندهای اتمی به‌کار نمی‌آید، باید امیدوار باشیم که دست‌کم این مکانیک برای شمار زیاد کوانتوم‌ها درست دربیاید. این ناشی از عقل سلیم بود، و کمتر از فلسفه. این اصل در دستان بور و مکتب او دستاورد‌های زیادی داشت، ازجمله محاسبۀ ثابت R درفرمول بالمر. قوانین پرراز طیف‌نمایی به چند قاعدۀ کلّی دربارۀ تراز انرژی و گذار میان آن‌ها تقلیل یافته بود. مهم‌ترین قاعده در اینجا، اصل طرد پاؤلی بود، که از بحثی دقیق دربارۀ طیفی ساده به‌دست آمده بود؛ این اصل می‌گوید دو الکترون یا بیشتر هرگز حالت کوانتومی یکسانی ندارد، که با مقادیر معیّن شمار کوانتوم‌ها تشریح می‌شود (8.27)، که خود آن‌ها متعلق به همۀ تناوب‌هاست، ازجمله اسپین الکترونی (اولن‌برگ و گاودسمیت). به‌کمک این اصول ساده، توانستیم نظام تناوبی عناصر را از راه حالت‌های الکترونی آن‌ها روشن کنیم. امّا این دستاوردهای بزرگ نظریّۀ بور خارج از حوزۀ توجّه فعلی ماست. بااین‌حال لازم است به ملاحظات بور دربارۀ تناظر میان دامنه‌های مؤلّفه‌های هماهنگ مداری مکانیکی و شدت برخی خطوط طیفی اشاره کنم. اتمی را در حالت کوانتومی n با انرژی ϵ_n در نظر بگیرید و فرض کنید که مدار برای یک n بزرگ، تقریباً با دادن مختصات q چون توابعی از زمان مشخّص می‌شود. چون همۀ این‌ها تناوبی است، پس می‌توان q را چون سری هماهنگ (فوریه) از نوع زیر دانست:

(28.8) q(t)=∑_(m=1)^∞▒  a_m (n) cos⁡[2πν(n)(mt+δ_m )]
که در آن بسامد بنیادی ν(n) و دامنه‌های a_m (n) به تعداد n مدار مورد نظر وابسته است. درواقع، بسامدهای مشاهده شده ν(n),2ν(n),3ν(n),… نیست، بلکه:

ν_nm=1/ħ (ϵ_n-ϵ_m )
پس دامنه‌ها چه می‌شود؟ روشن است که مربع‌های |a_m (n)|^2 باید به‌نحوی با احتمال گذار B_nm=B_mn متناظر باشد، که اینشتین درمشتق‌گیری از قانون تابش پلانک (8.16) وارد کرد. امّا چگونه می‌توان اثر m ام از مدار n ام را با رابطۀ متقارن میان دوحالت m,n مرتبط کرد؟
این مسئلۀ اصلی فیزیک کوانتومی در سال‌های 1913 تا 1925 بود. به‌ویژه آنکه علاقۀ زیادی به اندازه‌گیری شدت خطوط طیفی، به‌کمک میکروفوتومترها به‌وجود آمده بود که تازه اختراع شده بود. قوانین ساده برای شدت خطوط مؤلفّۀ طیف‌های چندجزئی کشف شده بود (اورن‌شتاین، مول)، که به‌صورت جدول‌های درجۀ دوم نشان داده می‌شد که بسیار هم شبیه ماتریس‌ها بود، به‌طوری‌که به‌دشواری می‌توان فهم کرد که چرا این تداعی فکری پیشتر در ذهنی به‌وجود نیامده بود.
این اتّفاق نیفتاد، زیرا ذهن فیزیک‌دان‌ها همچنان بر خط‌مشی کلاسیک متمرکز بود، و به تلاشی ویژه نیاز بود تا خود را از این کژروی برهانند. باید ناگزیر این فکر که مختصّات را تابعی از زمان بدانیم، که سری فوریه مانند آنچه در ( 8.28) آمده، نشان می‌داد، کنار می‌گذاشتیم؛ در فرمول خود باید جمع را نادیده می‌گرفتیم و جمله‌های نامرتبط را مختصات بدانیم. دراین‌صورت است که جایگزینی دامنه‌های a_m (n) فوریه با دامنه‌های کوانتومی a(m,n) با دو اندیس متناظر m,n ممکن می‌شود تا قانون ضرب برای ضرایب فوریه را به ماتریس به‌صورت زیر تعمیم دهیم:
(29.8) c_m (n)=∑_k▒  a_k (n) b_(k-m) (n)→c(m,n)=∑_k▒  a(m,k)b(k,n)
هایزنبرگ کنار‌گذاشتن مفاهیم سنّتی را با اصلی روش‌شناختی کلّی توجیه کرد: نظریّه‌ای رضایت‌بخش نباید از مقادیری استفاده کند که با چیزی مشاهده‌نشدنی مطابقت داشته باشد. به خصوصیّت بسامد‌های کلاسیک mν(n) و تمامی فکر مدار، این ظنّ رواست. پس باید آن‌ها را از نظریّه حذف کرد و به‌جای آن‌ها بسامدهای کوانتومی ν_nm=h^(-1) (ϵ_n-ϵ_m ) را نهاد، و درعین‌حال باید فکر مدار را به‌کلّی کنار گذاشت.
این پیشنهاد هایزنبرگ، که کلید موفقیّت مکانیک کوانتومی بود، تحسین زیادی برانگیخت. تلاش‌هایی صورت گرفت تا از این پیشنهاد چون راهنمایی برای رفع مشکلات به‌وجود‌آمده در فیزیک استفاده شود (در کاربرد روش‌های کوانتومی در نظریّۀ میدان و ذرات نهایی)؛ امّا این کارموفقیّت چندانی نداشت. هم‌اکنون مکانیک کوانتومی خود از کمیّت‌های مشاهده‌ناپذیر آزاد نیست. (برای مثال تابع موج شرودینگر مشاهده‌شدنی نیست، مگر درحالت مربّع مدول آن). زدودن نظریّه‌ای از چنین مفاهیم زائدی سبب ناشیگری‌ای‌ تاب‌نیاوردنی می‌شود. به‌گمان من، اگرچه هنوز حرف بسیار در‌بارۀ پاک‌کردن یک نظریّه به‌شیوه‌ای که هایزنبرگ توصیه می‌کند، باقی است، موفقیّت آن به‌تمامی به تجربۀ علمی، ذوق، و سلیقه وابسته است.
جوهر مکانیک کوانتومی تازه، نمایش همۀ کمیّت‌های فیزیکی با ماتریس است، یعنی با موجودیّت‌های ریاضی که می‌توان آن‌ها را باهم جمع یا در هم ضرب کرد، بنا بر قواعد شناخته‌شده، درست مانند اعداد ساده، با این تفاوت که حاصل‌ضرب جا‌به‌جایی نیست. مثلاً شرایط کوانتومی (8.27) را می‌توان مطابق قانون جا‌به‌جایی این طور نوشت:

(30.8) qp-pq=iħ□( ) (ħ=h/2π)
صورت همیلتونی مکانیک را می‌توان با جایگزین‌کردن همۀ مقادیر با ماتریس‌های متناظر حفظ کرد. به‌ویژه تعیین حالت‌های مانا را می‌توان به یافتن ماتریس‌های q,p تقلیل داد که برای آن‌ها همیلتونی H(p,q) چون ماتریسی است که تنها عناصر قطری دارد که همان انرژی سطوح حالت است. برای آنکه ارتباطی با نظریّۀ تابش پلانک بیابیم، باید مربعّ |q(m,n)|^2 را چون ضرایب B_mn اینشتین تفسیر کنیم. از این راه می‌توان به چند نمونۀ ساده پرداخت که رضایتی هم فراهم می‌آورد. امّا مکانیک ماتریسی آشکارا تنها در نظام‌های بسته با سطح انرژی گسسته کاربرد دارد، و نه دربارۀ ذرّات آزاد و مسئلۀ برخورد.
این محدودیت را مکانیک موجی شرودینگر رفع کرد که کاملاً مستقل از فکر دوبروی دربارۀ کاربرد نظریّۀ کوانتومی به ذرات آزاد بود. همگان باور دارند که کار دوبروی نمونۀ برجسته‌ای از قدرت ذهن انسان است تا قوانین طبیعت را تنها با خرد ناب بیابد، بی‌آنکه به مشاهده دست بزند. من در سرآغاز مکانیک موجی، برخلاف مکانیک ماتریسی، مشارکت نداشتم. در‌نتیجه نمی‌توانم از تجربۀ خودم دربارۀ آن چیزی بگویم. بااین‌همه گمان می‌کنم اگر رد پایی که لازمۀ کار بود، در واقعیّات کم بود، حتّی نمی‌توانستیم قدمی به‌جلو برداریم. نفی این نکته به معنای اصرار بر این است که کشف کوانتوم پلانک و نظریّۀ نسبّیت اینشتین حاصل فکر ناب بود. این‌ها تفسیرهایی از واقعیّات مشاهده‌شده بود، راه‌حلّ‌هایی بر معمّاهایی بود که طبیعت در برابر ما قرار می‌دهد – معمّاهایی مسلّماً دشوار که تنها اندیشمندان بزرگ توانایی حلّ آن‌ها را دارند.
دوبروی دریافت که در نسبیّت، انرژی ϵ یک ذره مقدار عددی نیست، بلکه چهارمین مؤلّفۀ برداری در فضا-زمان است و سایر مؤلّفه‌های آن نمایانگر تکانۀ p است؛ ازسوی دیگر، بسامد ν در موج هماهنگ تخت هم مؤلّفۀ چهارم بردار فضا-زمان است، که سایر مؤلّفه‌های آن نمایندۀ بردار موج k است (با داشتن جهت موج نرمال و طولی برابر با λ^(-1)، که در آن λ طول موج است). حال اگر بنا به فرض پلانک ϵ=hν باشد، پس ناگزیریم فرض کنیم که p=hk هم هست. درمورد موج‌های نور که در آن‌ها λν=c است، اینشتین پیشتر این کار را انجام داده و گفته است فوتون‌ها رفتاری مانند تیر‌هایی با تکانۀ p=ϵ/c=hν/c دارد. دوبروی آن را درمورد الکترون به کار گرفت که در آن رابطۀ میان ϵ و p پیچیده‌تر است، به‌عبارتی از (8.3) با حذف سرعت v به دست می‌آید:

(31.8) (ϵ/c)^2=p^2+m_0^2 c^2
اگر ذره‌ای (ϵ,p) همواره همراه با موجی (ν,k) باشد، سرعت فازی موج (با استفاده از ϵ=mc^2,p=mv) چنین خواهد بود:
(32.8) νλ=ν/k=ϵ/p=c^2/v⩾c
که به‌ظاهر نتیجه‌ای غیرممکن است، زیرا برای اصل نسبیّت سرعت‌های بزرگ‌تر از سرعت نور منتفی است. امّا این امر مانع کار دوبروی نشد؛ او می‌گفت که منع سرعت‌های بزرگ‌تر از c مربوط به حرکت‌هایی است که از آن‌ها بتوان برای ارسال علائم زمانی استفاده کرد. این کار با استفاده از موج تک‌فام ممکن نیست. زیرا برای یک علامت، باید گروه کوچکی از امواج داشته باشیم که سرعت‌های آن‌ها را، بنا بر ری‌لای، بتوان با مشتق‌گیری بسامد نسبت به عدد موج به دست آورد. درنتیجه از (8.31) و (8.32) :

(33.8) dν/dk=dϵ/dp=(pc^2)/ϵ=v
نتیجه‌ای کاملاً رضایت‌بخش که کاملاً ارتباط صوری ذرات و امواج را تشریح می‌کند، هرچند معنای فیزیکی این ارتباط هنوز یک راز است.
این استدلال البته نشانی از نبوغ بود، هرچند پیروزی اصولی پیشینی نبود، بلکه نشانی از ظرفیّت فوق‌العاده‌ای بود تا موضوع‌های دور از هم را با یکدیگر بیامیزیم و یک‌پارچه کنیم.
دربارۀ کار شرودینگر و دیراک باید همین را بگویم، امّا شاید بهتر باشد از خود آن‌ها مستقیماً پرسید چه نظری دربارۀ ریشه‌های کشفیات خود دارند. من در اینجا جزئیّات این کشفیات را تشریح نمی‌کنم، بلکه به ارتباط آن‌ها با سایر واقعیّات یا نظریّه‌ها اکتفا می‌کنم. شرودینگر می‌گوید اشارۀ دوبروی او را به این کار تشویق کرد تا هر حرکت تناوبی الکترون را، با شمار درستی از امواج حرکت موجی متناظر بداند. این نکته او را به معادله‌ای کشاند که در آن ویژه‌مقدارها سطوح انرژی حالت‌های ماناست. او سپس به شباهت بین مکانیک و نورشناسی کشانده شد که از زمان پژوهش‌های همیلتون شناخته‌شده بود؛ رابطۀ مکانیک موجی با مکانیک معمول، مانند رابطۀ نورشناسی موجی به نورشناسی هندسی است. سپس شرودینگر در پی یافتن ارتباط مکانیک موجی با مکانیک ماتریسی برآمد، و با این کار دریافت که ویژگی‌ اصلی ماتریسی را که آن نشان می‌دهد این است که نشانگر عملگری خطی است که بر برداری عمل می‌کند (ماتریس تک‌ستونی)، و از این راه به حساب عملگرهای خود رسید (ضمیمۀ 27)؛ اگر مختصّۀ q را متغیری عادی، و تکانۀ متناظرش را با:
p=ħ/i ∂/∂q
نشان دهیم، قانون جابه‌جایی (8.30) اتّحادی ساده می‌شود. با به‌کارگیری نظریّۀ مجموعه‌های توابع متعامد بهنجار عادی، او موفق به بر قراری رابطۀ دقیق میان ماتریس و مکانیک موجی شد.
آنچه بیش از هرچیز دیگر چشمگیر است، این است که دیراک تمامی این داستان را بر اساس فکر اولیّۀ هایزنبرگ ساخت، با روشی مستقل و ازنظر صوری کلّی‌تر، که بر مفهوم انتزاعی مقادیر جابه‌جایی‌ناپذیر استوار بود (اعداد q).
رشد مکانیک کوانتومی از سه ریشۀ مستقل که آن را به تنۀ واحدی مرتبط می‌کند، دلیلی قوی بر ناگزیربودن این مفاهیم باتوّجه به وضعیت تجربی است.
از دید این درس‌ها دربارۀ علّت و تصادف، فرمالیسم مکانیک کوانتومی اهمیّتی ندارد، بلکه تفسیر آن مهم است. امّا حالا فرمالیسم بود که دست برتر پیدا کرد، و به‌خوبی جا افتاد، بی‌آنکه معنای واقعی‌اش روشن باشد: یعنی چیزی نه کمتر و نه بیشتر از یک‌سره پشت‌کردن به غلبه بر علت (به‌معنای سنّتی، یعنی اساساً همان جبرگرایی) و روی‌آوردن به تفوّق تصادف.
این انقلاب در دورنما، به کوششی باز می‌گردد که اینشتین در تفسیر هم‌زیستی امواج نوری و فوتون انجام داد. او از امواج چون «میدان اشباح» سخن می‌گفت که معنای فیزیکی متعارف ندارد، امّا شدّت آن‌ها احتمال پیدایی فوتون را معیّن می‌کند. این فکر را می‌توان به رابطۀ الکترون (و به‌طورکلّی به ذرات مادی) با امواج دوبروی تسرّی داد. به‌کمک معادلۀ موج شرودینگر، می‌توانیم پراکندگی ذرات در برخورد به موانع، قانون برانگیختگی اتم با بمباران الکترونی، و پدیده‌های مشابه دیگر را محاسبه کنیم که نتایجی به‌بار آورد که که فرض ما را تایید می‌کند.
اکنون به تشریح وضع کنونی این نظریّه با صورت‌بندی‌ای که کار دیراک است، می‌پردازیم که به‌خوبی به‌کار مقایسۀ فیزیک آماری جدید با فیزیک قدیمی جبرگرای می‌آید.
فصل نهم
تصادف
مکانیک کوانتومی
در مکانیک کوانتومی کمیّت‌های فیزیکی یا مشاهده‌شدنی را متغیّرهای معمول نشان نمی‌دهد، بلکه با نماد‌هایی نشان می‌دهند که مقدار عددی ندارد، و مقادیر ممکن مشاهده‌شدنی را نشان می‌دهد که از راه معیّنی مشخّص می‌شود که در اینجا تشریح می‌کنیم. این نمادها را می‌توان با هم جمع یا در هم ضرب کرد، با این قید که ضرب در اینجا جا‌به‌جاشدنی نیست. AB به‌طور کلّی با BA متفاوت است. در اینجا نمی‌توانم به جنبۀ کلّی این حساب نمادین بپردازم، امّا نمایشی خاص از آن را در نظر می‌گیرم. به‌عبارت دیگر در نمایشی که مختصات q_1,q_2,…, ذرات چون اعداد عادی در نظر گرفته می‌شود. سپس حالت معلومی از نظامی را با تابع ψ(q_1,q_2,…), تشریح می‌کنیم، و یک A مشاهده‌شدنی را با عملگری خطی نمایش می‌دهیم: Aψ(q) به‌معنای تابع جدید ϕ(q) است، که از نتیجۀ عمل با A بر ψ به‌دست آمده است. اگر این نتیجه، جدا از فاکتوری، با ψ یکسان باشد
(9.1) Aψ=aψ
ψ را ویژه‌تابعی از A و ثابت a را ویژه‌مقدار می‌نامیم. همۀ مجموعۀ ویژه‌مقدارها مشخصّۀ عملگر A است و نشان‌دهندۀ مقادیر عددی مشاهده‌شدنی است، که ممکن است پیوسته یا ناپیوسته باشد.
خود مختصات q را ممکن است مانند عملگر در نظر گرفت، به‌عبارتی چون عملگرهای ضرب، q_α که بر ψ عمل می‌کند به‌معنای ضرب ψ با q_α است. عملگرهایی که ویژه‌مقدارهای آن‌ها اعداد حقیقی باشد، آن‌ها را عملگر حقیقی (یا هرمیتیان) می خوانند. روشن است که همۀ کمیّت‌های فیزیکی را باید با عملگرهای حقیقی نشان داد، زیرا فرض این است که ویژه‌مقدارها نتایج ممکن اندازه‌گیری کمیّتی فیزیکی را نشان می‌دهد. به‌آسانی می‌توان دید که نه تنها
عملگرهای ضرب q_α بلکه تکانه‌های p_α=ħ/i ∂/(∂q_α ) حقیقی است. امّا برای استدلالی مستحکم، می‌توان عملگرهای مختلط را به‌کار برد، آن هم به‌صورت C=A+iB (که در آن i=√(-1) است)، و مزدوج C^*=A-iB است؛ پس CC^* را می‌توان با عملگری حقیقی نشان داد که فقط ویژه‌مقدارهای مثبت (یا صفر) دارد.
اگر دو کمیّت فیزیکی مشاهده‌شدنی با عملگرهای غیرجا‌به‌جایی A و B نشان داده شود، ویژه‌توابع آن‌ها کاملاً یکسان نخواهد بود؛ اگر a ویژه‌‌مقداری از A باشد، که به چنین ویژه‌تابعی متعلّق است، هیچ حالتی از نظامی وجود ندارد که برای آن اندازه‌گیری‌ای به نتیجه‌ای بینجامد که بتوان هم‌زمان برای A و B مقادیر عددی درستی برای a و b پیدا کرد.
در‌نتیجه نظریّه نمی‌تواند به‌طور کلّی مقادیر معیّنی برای همۀ خصوصیّت‌های فیزیکی، بلکه تنها تنها قوانین احتمالات را می‌تواند پیش‌بینی کند. همان آزمایش، اگر ذیل شرایطی یکسان و مهارشدنی‌ای انجام شود، ممکن است برای کمیّت A شمار بسیار a_1، شمار بسیار برای a_2 و غیره و به‌همان‌ترتیب برای B، b_1، و b_2 و مانند آن را بیابد. امّا میانگین اندازه‌گیری‌های مکرّر باید پیش‌بینی‌شدنی باشد. هرچه بخواهد قاعده‌ای باشد که ساخت شمار میانگین b_2 اندازه‌گیری‌های A را نشان می‌دهد، عقل سلیم حکم می‌کند که اگر c هر مقداری باشد، (A+B) ̅=A ‾+B ‾و (cA) ̅=cA ‾ همان خواص را داشته باشد.
از آنچه گفتیم نتیجه‌ای مهم به‌دست می‌آید. به‌جز میانگین‌های A ‾,B ‾ دو عملگر A,B، اگر هم به میانگین مربع انحراف توجّه کنیم، یا به «پراکندگی» اندازه‌گیری‌ها، در این‌صورت:

(9.2) ├ ├ δA=√({(A-A ‾)^2 ┤ )} ,□( ) δB=√((B-B ‾)^2 )}
با محاسبۀ جبری ساده (ضمیمۀ 28)، که چیزی جز واقعیّت بالا را به‌کار نمی‌گیرد، که CC^* ویژه‌مقدار منفی ندارد، و چون (CC^* ) ̅⩾0 است، درنتیجه، به:

(9.3)
(9.4) δA.δB⩾ħ/2∣([A,B] ) ̅ |
[A,B]=1/iħ(AB-BA)

و به، به‌اصطلاح «جابه‌جاگر» دو عملگر A,B می‌رسیم. اگر این را به‌طور خاص به مختصه‌ای و تکانۀ آن اعمال کنیم، A=p، B=q، خواهیم داشت [q,p]=1، پس:

(9.5) δp.δq⩾ħ/2
این همان اصل مشهور عدم‌قطعیت هایزنبرگ است که بیان کمّی اثر غیرجابه‌جایی بودن در اندازه‌گیری‌هاست، امّا مستقل از تعریف دقیق میانگین‌هاست. این نشان می‌دهد چگونه تنگ‌کردن دامنۀ مقادیر q، که باید اندازه‌گیری شود، دامنۀ p را گسترده‌تر می‌کند. براساس (9.3)، همین وضع برای دو مورد جا‌به‌جانشدنی مشاهده‌پذیر مصداق دارد، با این تفاوت که «عدم‌قطعیّت» به میانگین جا‌به‌جاگر وابسته است.
این ملاحظات کلّی، به‌عبارتی، بخش جنبشی مکانیک کوانتومی است. امّا حالا سراغ بخش دینامیکی آن می‌رویم.
درست مانند مکانیک کلاسیک، بخش رفتار دینامیکی نظامی از ذرات با معادله همیلتونی زیر تشریح می‌شود:
H(q_1,q_2,…;p_1,p_2,…)
که یک عملگر (دیفرانسیلی) است. این کار به‌طور معمول برگرفته از مکانیک کلاسیک است (که در آن، درصورت لزوم، حاصل‌ضربی مانند pq، باید به‌صورت «قرینه‌شدۀ» 1/2(pq+qp) در بیاید). در نظریّۀ نسبیتّی الکترونی دیراک، به‌جز مختصات فضایی، موارد مشاهده‌شدنی‌ وجود دارد، که نشان‌دهدۀ اسپین الکترون (و کمیّت‌های مشابه در نظریّۀ مزون‌ها) است؛ این موارد به دشواری‌ای اساسی نمی‌انجامد، و ما هم در اینجا به آن‌‌ها نمی‌پردازیم.
نکته‌ای باید در اینجا دربارۀ H همیلتونی بگویم، که به موضوح کلّی تصادف و ضرورت مربوط است: H، که شامل انرژی پتانسیل (و عبارات متناظر آن در برهم‌کنش الکترومغناطیسی) است، آخرین بقایای مفهوم نیوتونی علّت است، که از عبارات سنّتی استفاده می‌کند. به این نکته باز خواهیم گشت.
در مکانیک کلاسیک از صورت‌بندی قوانین حرکت استفاده کردیم که درست بر نظامی ساده منطبق است، یعنی در اینجا به همۀ جزئیّات حرکت نظام توجّه می‌شود، درست مانند نظامی با ذرات پرشمار، که در آن تنها به نتایج آماری (اگر ممکن باشد) علاقه‌مندیم. تابعی از زمان f(t,p,q) و همۀ مختصات و تکانه‌ها در نظر گرفته شده است؛ اگر p,q بنا بر معادله‌های حرکت، با زمان تغییر کند، تمامی تغییر f به‌صورت زیر ارائه می‌شود:

(9.6) df/dt=∂f/∂t-[H,f]
که در آن [H,f] کروشه پواسون است:

(9.7) [H,f]=∑_k▒  (∂H/(∂q_k ) ∂f/(∂p_k )-∂H/(∂p_k ) ∂f/(∂q_k ))
معادله‌های بندادی را با گماردن f برای q_k، یا p_k می‌توانیم به‌دست آوریم. ازسوی‌ دیگر اگر df/dt=0 بگیریم، هر راه‌حّل این معادله، انتگرالی از معادله‌های حرکت است، و با شمار کافی چنین انتگرال‌هایی f_k (t,p,q)=c_k می‌توانیم راه‌حل کامل را با دادن همۀ p,q چون تابع‌های از t به‌دست بیاوریم.
امّا اگر چنین کاری لازم نباشد، همان معادله نیز برای به‌دست‌آوردن دادۀ آماری چون راه‌حلّی از f به‌کار می‌رود، و آن را «تابع توزیع» می‌نامیم، همان‌گونه که جزئیّات آن را تشریح کردم. پس f انتگرال زیر است:

(9.8) ∂f/∂t=[H,f]
که در آن t=0 وارد توزیع اوّلیۀ معلوم f_0 (p,q) می‌شود. اگر، به‌ویژه، این تابع قبلی به‌جز در همسایگی یک نقطه معلوم p_0,q_0 در فاز فضا ناپدید شود، یا در ترسیم دیراک، اگر f_0=δ(p-p_0 )δ(q-q_0 ) باشد، به مرحلۀ قبلی شناخت کامل باز می‌گردیم که در آن q_0 و p_0 مقادیر اولیّۀ q و p خواهد بود.
این روش را نمی‌توانیم بی‌تغییر به مکانیک کوانتومی تسّری دهیم، آن هم به‌این‌دلیل ساده که به p و q نمی‌توان هم‌زمان مقادیر معیّن داد. این رابطۀ عدم‌قطعیّت (9.5) از تجویز مقادیر اوّلیّۀ مشخّص برای همۀ p و q ممانعت می‌کند. پس نخستین قسمت برنامه، به‌عبارتی داشتن شناخت کامل از حرکت، به‌همان معنای مکانیک کلاسیک، از همان آغاز درهم می‌شکند. امّا بخش دوم، یعنی پیش‌بینی آماری، امری ممکن است. به‌استناد دیراک، می‌پرسیم جه کمیّت‌هایی باید جایگزین کروشه‌های پواسون (9.7) در نظریّۀ کوانتومی شود که در آن همۀ کمّیت‌ها به‌طور کلّی جابه‌جایی‌شدنی نیست. این کروشه‌های [α,β] شماری خاصیّت جبری دارد؛ و مهم‌ترین آن‌ها این‌هاست:

(9.9)
[α,β_1+β_2 ]=[α,β_1 ]+[α,β_2 ]
[α,β_1 β_2 ]=β_1 [α,β_2 ]+[α,β_1 ] β_2
اگر کسی فرض کند که این‌ها باید برای کمیّت‌های جابه‌جایی‌ناپذیر α و β هم صادق باشد، به‌‌شرط آنکه ترتیب عوامل همیشه حفظ شود (همان‌طورکه در (9.9) است)، درنتیجه می‌توان نشان داد (ضمیمۀ 29) که [α,β] به‌طور دقیق همان جا‌به‌جاگری است که با (9.4) تعریف شده است.
اکنون باید تابع f را در ( 9.8) با عملگری وابسته به زمان ρ جایگزین کرد که آن را عملگر آماری می‌خوانند، و ρ را از معادله به‌دست آورد (از نظر صوری با (9.8) یکسان است):

(9.10) ∂ρ/∂t=[H,ρ]
باتوجّه‌به شرایط اولیّۀ مناسب. برای آنکه این را از راهی ساده‌تر نشان دهیم، بهتر است که همۀ عملگرها را با ماتریس‌هایی در فضای q نشان دهیم؛ A که بر روی تابع ψ(q) عمل می‌کند، و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

(9.11) Aψ(q)=∫▒ A(q,q^’ )ψ(q^’ )dq^’
(q جای همۀ مختصات q_1,q_2,…, را می‌گیرد، و q^’ برای مجموعۀ دیگری از مقادیر q_1^’,q_2^’,… خواهد بود)، که در آن A(q,q^’ ) را ماتریسی می‌خوانند که A را نشان می‌دهد.
حاصل‌ضرب AB را با ماتریس زیر نمایش می‌دهند:

(9.12) AB(q,q^’ )=∫▒ A(q,q^” )B(q^”,q^’ )dq^”
حال اگر ρ و H را چون چنین ماتریس‌هایی در نظر بگیریم، که در آن‌ها عناصر ρ وابسته به زمان هم باشد، (9.10) معادلۀ دیفرانسیلی برای ρ(t,q,q^’ ) خواهد بود، و شرایط اولیّه آن به‌سادگی همچون زیر خواهد بود:
(13.9) ρ(0,q,q^’ )=ρ_0 (q,q^’ )
که در آن ρ_0 تابعی معیّن از دو مجموعه از متغیرها خواهد بود.
در نظامی با N ذره، شمار شناسه‌های بردار، درست مانند مورد نظریّۀ کلاسیک در تابع f(p,q) است. امّا چون معنای وابستگی به p,q آشکار است، امّا وابستگی به دو مجموعۀ q,q^’ روشن نیست، مگر در یک مورد، به‌عبارتی هنگامی‌که دو مجموعۀ q=q^’ یکسان باشد؛ پس تابع:

(14.9) ρ(t,q,q)=n(t,q)
شمار چگالی خواهد بود، که متناظر با معادلۀ کلاسیک زیر است:
∫▒ f(t,q,p)dp=n(t,q)
به‌طورکلّی، عمل کلاسیک انتگرال‌گیری بر p با عمل ساده‌تر مساوی‌قراردادن دو مجموعۀ q، q=q^’یا به‌زبان ماتریسی، با جایگزینی عناصرقطری p انجام می‌شود.
میانگین ،A مشاهده‌شدنی برای پیکربندی q باید عدد حقیقی A ‾ باشد که از ρ و A به‌دست آمده، به‌طوری‌که nA ‾ در هر دو عملگر خطی است. ساده‌ترین عبارت این نوع چنین است:

(9.15) nA ‾=1/2(ρA+Aρ)_(g=q^’ )
و درعمل همۀ نتایج مکانیک کوانتومی را، که عموماً به‌کمک تابع موج به‌دست می‌آید، در اختیار ما می‌‌گذارد. برای مثال، ماتریس آماری‌ای که حالت مانا را تشریح می‌کند، و در آن A دارای مقدار درست a، بوده که به ویژه‌تابع ψ(a,q) تعلّق دارد، به این صورت است:
(9.16) ρ=ψ(a,q)ψ^* (a,q^’ )
پس، از تشریح (9.12) به‌آسانی بر می‌آید که برای این ρ و هر عملگر حقیقی A، داریم:
(17.9) Aρ=ρA=aρ
پس برایq=q^’، با (9.14)، این روابط را داریم:
(18.9) n(a,q)=|ψ(a,q)|^2,□( ) A ‾=a
پس این فرض معمول به‌دست می‌آید که |ψ(a,q)|^2 «احتمال» (اگر برای 1 بهنجار شود) یا «عدد چگالی» (اگر برای N بهنجار شود) در نقطه q برای حالت a است. (باید درهرصورت توجّه داشت که برای نظام‌های با ذرات زیاد، مانند سیال‌های درحال حرکت، راه‌های دیگر میانگین‌سازی مفید خواهد بود، برای مثال، برای مربع تکانه به‌جای n(p^2 ) ̅=1/2 (ρp^2+p^2 ρ)_(q=q^’ ) از عبارت ±(ρp^2+p^2 ρ+2pρp)_(q=q^’ ) استفاده شود، که درهرحال برای شرایط یکنواخت با قبلی مطابقت دارد.)
اکنون مورد مانای کلّی‌ای را در نظر می‌گیریم که در آن ρ مستقل از زمان است و درنتیجه در رابطۀ زیر صدق می‌کند:
(19.9) [H,ρ]=0
هر راه‌حلّی برای این معادله، یعنی هر کمیّت Λ که با H جا‌به‌جا شود، درقیاس با مفهوم کلاسیک متناظر خود، انتگرال حرکت نامیده می‌شود. خود H، مسلّماً یک انتگرال است. همۀ انتگرال‌های Λ_1,Λ_2,…,ویژه‌مقدارهای متفاوتی λ_1,λ_2,…, دارد، برای یک و همان ویژه‌تابع ψ(λ_1,λ_2,…;q_1,q_2,…)، یا به‌اختصار برای ψ(λ,q):
(20.9) Λ_1 ψ=λ_1 ψ,□( ) Λ_2 ψ=λ_2 ψ,□( )… .
ρ را می‌توان هر تابعی از Λ دانست؛ نمایش ماتریسی آن این‌طور است:
(21.9) ρ(q,q^’ )=∑▒ P(λ)ψ(λ,q) ψ^* (λ,q^’ )
که از آن می‌توانیم، با ( 9.18)، به رابطۀ زیر برسیم:
(22.9) n(q)=ρ(q,q)=∑_λ▒  P(λ)|ψ(λ,q)|^2=∑_λ▒  P(λ)n(λ,q)
این نشان می‌دهد که ضریب دلخواه P(λ) احتمال یافتن نظام در حالت مانای λ است.
مسائل دینامیکی با اندکی تفاوت از نظریّۀ کلاسیک بروز می‌کند. در اینجا حرف از حرکت ذرات در نظامی بسته، معنای معیّنی دارد، برای مثال صحبت دربارۀ مدار مشتری در نظام فلکی. در نظریّۀ کوانتومی نظامی بسته در حالت مانای معلومی پابرجا می‌ماند، یا در ملغمه‌ای از چنین حالت‌هایی که (9.21) ارائه می‌دهد. امّا باز چیزی در زمان تغییر نمی‌کند؛ نمیتوان حتّی مشاهده‌ای انجام داد، بی‌آنکه تداخلی در حالت نظام روی دهد. در فیزیک کلاسیک فرض بر این است که سروکارمان همواره با وضعیّتی عینی و مشاهده‌شدنی است؛ تصوّر از فرایند اندازه‌گیری این است که تأثیری بر شیء مشاهده‌شدنی ندارد. امّا من توجّه شما را به این نکته جلب کردم که حتّی در فیزیک کلاسیک این فرض درعمل هرگز محقّق نیست، زیرا حرکت براونی بر ابزار تأثیر می‌گذارد. پس ما این آمادگی را کاملاً در خود می‌بینیم تا بپذیریم فرض «بی‌ضرر‌بودن» مشاهده محال است.
کلّی‌ترین راه برای صورت‌بندی مسئله‌ای دینامیکی این است که معادلۀ همیلتونی را به دو قسمت کنیم:
(23.9) H=H_0+V
که در آن H_0 چیزی را تشریح می‌کند که مورد نظر ماست، درحالی‌که V اهمیّت کمتری دارد، یعنی همان چیزی که اختلال نامیده می‌شود. V ممکن است شامل تأثیرهای خارجی هم باشد که به‌صراحت وابسته به زمان است. این تقسیم‌به‌دو مسلّماً به‌میزان زیادی دلخواه است؛ امّا متناظر با وضع فعلی است. اگر مولکولی از آب H_2 O متشکّل از اتم‌های خود است، پس می‌توانیم یا بپرسیم حالت‌های مانای همۀ نظام چه چیز است، یا می‌توانیم به قسمت‌های H_2 و O توجّه کنیم و بپرسیم چگونه حالت‌های مولکول هیدروژن با نزدیک‌شدن اتم اکسیژن به آن تغییر می‌کند، یا همان سؤال را می‌توان دربارۀ رادیکال HO و اتم H پرسید. دو مسئلۀ اخیر به دینامیک مربوط می‌شود.
پس مسائل دینامیکی در نظریّۀ کوانتومی را، برخلاف مسائل در نظریّۀ کلاسیک، نمی‌توان مشخّص کرد، بی‌آنکه تصمیمی ذهنی، کم‌وبیش دلخواه، گرفته باشیم که به چه چیز در اینجا دل بسته‌ایم. به‌عبارت دیگر، مکانیک کوانتومی حالتی عینی را در دنیای مستقّل بیرونی تشریح نمی‌کند، بلکه جنبه‌ای از این جهان را نشان می‌دهد که از دیدگاهی نسبتاً ذهنی، یا با برخی ابزارها و آرایش‌های تجربی، به آن نگریسته‌ایم. این گزاره سبب مناقشۀ زیاد شد، و هرچند نسل کنونی فیزیک‌دانان آن را عموماً می‌پذیرند، امّا آن دو نفری که بیش از همه برای خلق فیزیک کوانتومی کار کرده بودند، یعنی پلانک و اینشتین، آن را قاطعانه رد کردند. امّا من هم، با همۀ احترامی که به آن‌ها دارم، نمی‌توانم با آن‌ها موافق باشم. درواقع، فرض مشاهده‌پذیری مطلق، که ریشه مفاهیم کلاسیک بوده، در نظر من تنها در خیال است، مانند فرضی که نمی‌تواند به‌واقع برقرار باشد.
با فرض افراز (9.23)، می‌توانیم نظام را با عبارات انتگرال‌های حرکت Λ_1,Λ_2,… از H_0 تشریح کنیم که درهرحال، انتگرال‌های حرکت H نیست. پس همۀ عملگرها را باید چون ماتریس‌هایی بدانیم بر روی ویژه‌مقدارهای λ(λ_1,λ_2,…) ازΛ_1,Λ_2,…؛ برای مثال، عملگر آماری ρ را با ماتریس ρ(t;λ,λ^’ ) نشان می‌دهیم. عناصر قطری این ماتریس:
(24.9) P(t;λ)=ρ(t;λ,λ)
نشان‌دهندۀ احتمال حالت λ در زمان t است، و از t=0 تا ضرایب P(λ) می‌رود، که در بسط (9.21) ظاهر می‌شود و احتمالات اولیّه را نشان می‌دهد. تابع ρ(t;λ,λ^’ ) را می‌توان از معادلۀ دیفرانسیل (9.10) با روش تقریب‌های متوالی تعیین کرد. همکارم، گرین فرمولی زیبا یافت تا همۀ راه‌حل‌ها را بنمایاند. در تقریب دوم خواهیم یافت:
(25.9) P(t,λ)=P(λ)+∑_(λ^’)▒  J(λ,λ^’ ){P(λ^’ )-P(λ)}+⋯
ضرایب به‌صورت زیر است:

(26.9) J(λ,λ^’ )=1/ħ^2 |∫_0^t▒  V(t;λ,λ^’ ) e^(-(i/ħ)(E-E^’ )t) dt|^2
که در آن E انرژی نظام مختل‌نشده در حالت λ،E^’ در حالت λ^’ است (ضمیمۀ 30).
حال معادلۀ (9.25)، درست صورت قوانین واپاشی پرتوزای را دارد، یا مجموعه‌ای از واکنش‌های تک‌مولکولی است که در رقابت بایکدیگر است. ماتریس J(λ,λ^’ ) آشکارا احتمال گذار یا جهشی از حالت λ به حالت λ^’ را نشان می‌دهد. این تفسیر وقتی آشکارتر می‌شود که فرض کنیم مقادیر λ درعمل پیوسته است، چنانچه اگر نظام به ذرات اجازه پرش آزادانه را بدهد (مثلاً در پرتوزایی باید ذرات آلفا را به حساب آورد؛ در نظریّۀ خواص نورشناختی اتم، فوتون‌های گسیل‌شده و جذب‌شده همین وضع را دارد)، درست همین مورد را خواهیم داشت. اگر تأثیرهای خارجی حذف شود، به‌طوری‌که V وابسته به زمان نباشد، میتوان از انتگرال (9.26) به این نتیجه رسید که J متناسب با زمان می‌شود:
(27.9) J(λ,λ^’ )=j(λ,λ^’ )t
که در آن:
(28.9) j(λ,λ^’ )=2π/ħ |V(λ,λ^’ )|^2 δ(E-E^’ )
فاکتور آخری δ(E-E^’ ) می‌گوید j(λ,λ^’ ) که دو حالت λ و λ^’ تنها وقتی صفر نیست که انرژی برابر داشته باشد. j^’ (λ,λ^’ ) به‌وضوح احتمال گذار در واحد زمان است، مشخصاً مقداری که در پرتوزایی به‌کار می‌رود.
با به‌کارگیری فرمول (9.25) درمورد برهم‌کنش اتمی با میدانی الکترومغناطیسی، فرمول (8.24) به‌دست می‌آید که اینشتین از آن در استنتاج از قانون تابش پلانک استفاده کرد. موارد بی‌شمار کاربردی مشابه وجود دارد، مانند محاسبۀ سطح مقطع‌های مؤثّر انواع مختلف فرایندهای برخورد، که همگی فرمول (9.25) را بارها تأیید کرده است.
فیزیک علّت‌ناگرا
جای شک نیست که فرمالیسم مکانیک کوانتومی و تفسیر آماری آن موفقیّت فوق‌العاده‌ای در نظم‌دادن به آزمایش‌های فیزیکی و پیش‌بینی آن‌ها داشته است. امّا آیا خواستۀ ما از فهمیدن، تمایل ما به توضیح چیزها را می‌تواند نظریّه‌ای برآورده کند که آشکارا و ازسر بی‌پروایی علّت‌ناگراست؟ آیا با قبول تصادف و نه علّت، چون عالی‌ترین قانون جهان فیزیکی، رضایت خاطر ما فراهم می‌شود؟
پاسخ من به سئوال آخر این است که علیّت اگر درست درک شود، حذف نمی‌شود، بلکه تفسیر سنّتی آن، که به‌معنای یکسان‌پنداری آن با جبرگرایی است، کنار گذاشته می‌شود. با سختی‌ای که به خود دادم توانستم نشان دهم این دو مفهوم یکسان نیست. علیّت، با تعریفی که من از آن ارائه می‌دهم، این فرض است که وضعیّتی فیزیکی وابسته به دیگر وضعیّت‌هاست، و پژوهش علّی به‌معنای کشف چنین وابستگی‌ای است. این چیزی است که هنوز در فیزیک کوانتومی معتبر است، هرچند اشیای مورد مشاهده که برای ‌آن‌ها ادّعا می‌شود چنین وابستگی‌ای وجود دارد، متفاوت است: آن‌ها احتمالات رویدادهای اولیّه است، نه خود رویدادها به تنهایی.
درواقع، ماتریس آماری ρ، که این احتمالات از آن به‌دست می‌آید، در معادلۀ دیفرانسیلی صدق می‌کند که اساساً از همان نوع معادله‌های میدان کلاسیک برای امواج کشسان یا الکترومغناطیسی است. برای مثال، اگر ویژه‌تابع ψ(q) از همیلتونی H,Hψ=Eψ را، در e^(iEt/ħ) ضرب کنیم، تابع نو چنین خواهد بود:

(29.9) -ħ/i ∂ϕ/∂t=Hϕ
برای ذره‌ای آزاد، که در آن H=1/2m (p_x^2+p_y^2+p_z^2 )=-ħ^2/2m Δ,
به معادلۀ موج زیر می‌رسیم:

(30.9) 2mi/ħ ∂ϕ/∂t=Δϕ
هرچند در اینجا تنها مشتق اوّل نسبت به زمان پدیدار می‌شود، امّا اساساً با معادلۀ معمول موج (که در آن بخش چپ چنین 1/c^2 (∂^2 ϕ)/(∂t^2 ) است) تفاوت ندارد. باید به‌یاد داشته باشیم تنها ϕϕ^*=|ϕ|^2معنایی فیزیکی دارد (مانند یک احتمال)، که در آن ϕ^* در معادلۀ مختلط مزدوج زیر صدق می‌کند:
-2mi/ħ (∂ϕ^*)/∂t=Δϕ^*
برای این جفت از معادله‌ها، تغییری در جهت زمان (t→-t) می‌تواند با تعویض ϕ با ϕ^* جبران شود که تأثیری بر〖ϕϕ〗^* ندارد.
چنین چیزی درمورد کلّی (9.29) نیز صدق می‌کند، و می‌بینیم که معادله‌های دیفرانسیل تابع موج همان خاصیت همۀ معادله‌های میدان کلاسیک را دارد که در آن‌ها اصل تقدّم نقض شده است: هیچ تفاوتی برای انتشار احتمال چگالی بین گذشته و آینده وجود ندارد. ازسوی‌دیگر اصل هم‌جواری هم آشکارا رعایت شده است.
خود معادلۀ دیفرانسیل به‌صورتی کاملاً مشابه با معادله‌های کلاسیک حرکت ساخته شده است. این معادله در انرژی پتانسیل، که خود بخشی از معادلۀ همیلتون است، فکر کلاسیک نیرو و به‌عبارت دیگر، بیان کمّی علیّت را، دربر دارد. مثلاً، اگر ذره‌ای برهم‌کنشی با نیروی کولنی (مانند هسته و الکترون در اتم) داشته باشد، در آنجا هم درH، همان کنش بی‌زمان از فاصلۀ معیّن پدیدار می‌شود مانند آنچه در مکانیک نیوتونی بروز می‌کند. بااین‌همه چنین احساس می‌کنیم که این باقی‌مانده‌های علیّت کلاسیک گذراست و در نظریّه‌های آتی با چیزی جایگزین می‌شود که رضایت خاطر بیشتری فراهم می‌آورد. درواقع، دشواری‌هایی که کاربرد مکانیک کوانتومی در ذرّات اوّلیه بدان‌ها برخورد می‌کند، مرتبط با جمله‌های برهمکنش در معادلۀ همیلتونی است؛ آن‌ها آشکارا هنوز بسیار «قدیمی» است. امّا این پرسش‌ها خارج از حوزۀ این درس‌هاست.
در اینجا با وضعیّت متناقضی روبه‌رو هستیم که در آن رویدادهای مشاهده‌شدنی از قوانین تصادف تبعیّت می‌کند، امّا خود احتمال برای این رویدادها بر اساس قوانینی منتشر می‌شود که در همۀ اشکال اصلی خود، قوانین علّی است.
در اینجا نمی‌توان خود را از مسئلۀ واقعیّت برحذر داشت. پس این ذرات، که غالباً گفته می‌شود، درست مانند امواج پدیدار می‌شود، چیست؟ صحبت ازاین مسئلۀ دشوار مرا از موضوح بحث اصلی دور می‌کند. گمان می‌کنم مفهوم واقعیّت آن‌قدر آمیخته به احساس است که نمی‌توان از آن تعریفی عموماً پذیرفتنی ارائه داد. برای بیشتر مردم آن چیزی واقعی است که برایشان مهم است. واقعیّت هنرمند یا شاعر، با واقعیّت قدیسی یا پیامبری یکی نیست، و نه با واقعیت تاجری یا مدیری، و نه با واقعیّت فیلسوف طبیعی یا دانشمندی. پس اجازه دهید به‌نوعی خاص از واقعیّت، که بتوان آن را با عباراتی نسبتاً دقیق تشریح کرد، وفادار بمانیم. فرض این است که تأثیرات حسّی ما توهّم مستمر نیست، بلکه نشانه‌هایی، یا علامت‌هایی، از دنیای بیرون است که مستقل از ما وجود دارد. هرچند این علامت‌ها به‌طریقی سرگیجه‌آور تغییر و یا حرکت می‌کند، در چشم ما اشیایی است با خاصیّت‌هایی ناوردا. این مجموعه از ناورداهای تأثیرات حسّی ما همان واقعیّت فیزیکی است که ذهنمان آن را کاملاً ناخودآگاهانه می‌سازد. این صندلی با هر حرکت سر من، با هر چشم‌به‌هم‌زدنی متفاوت به‌نظر می‌رسد، ولی بازهم آنچه می‌بینم همان صندلی است. علم چیزی جز کوششی در راه بنای این ناورداها نیست، در جایی که عیان نیست. اگر شما دانشمندی آموزش‌دیده نباشید و به درون میکروسکوپی نگاه کنید، چیزی جز هاله‌ای از نور و رنگ نمی‌بینید و نه اشیاء را؛ برای دانستن اینکه چه چیزی می‌بینید، باید فنون علم زیست‌شناسی را، که همان تغییر شرایط، مشاهدۀ روابط با یکدیگر است، و نیز غیر آن را، به‌کار بندید تا بدانید آنچه می‌بینید بافتی با سلول‌های سرطانی یا چیزی مانند آن است. کلماتی که معنای اشیاء را مشخّص می‌کند، درمورد مشخصات دائمی مشاهده یا ناورداهای مشاهده به‌کار می‌رود.
ریاضیات این روش را در فیزیک دقیق‌تر کرده است. در این روش ناوردا در برابر تبدیل مفهومی دقیق است. فلیکس کلاین در نوشتۀ مشهور خود به نام برنامۀ ارلانگر تمامی ریاضیات را بنا به فکر خود طبقه‌بندی کرده است. همین کار را می‌توان در فیزیک انجام داد.
از این دیدگاه ذرات را حقیقی می‌دانم، زیرا آن‌ها ناورداهای مشاهده است. به «وجود» الکترون به‌این‌سبب عقیده دارم که بار e و جرم مشخص m را دارد و اسپینی معیّن؛ این به‌این‌معناست که شرایط و وضع آزمایش هر چه باشد، می‌توان اثری را، که نظریّه به وجود الکترون منتسب می‌داند، یعنی کمیّت‌های e,m,s را یافت که همان مقادیر عددی را دارد.
حال آیا می‌توان با‌توجّه‌به این نتایج، الکترون را ذره‌ای مانند شیئی کوچک انگاشت که مکانی معیّن در فضا دارد؟ این موضوعی دیگر است. درواقع می‌توان چنین چیزی را حتّی در نظریّۀ کوانتومی تصوّر کرد. امّا آنچه نمی‌توان انجام داد این است که فرض کنیم الکترون درعین‌حال سرعتی معیّن دارد؛ بنا به رابطۀ عدم‌قطعیّت چنین چیزی ممکن نیست. هرچند می‌توان در تجربۀ روز‌مرّه به اجسام معمول موقعیّت و سرعت مشخص نسبت داد. دلیلی بر این فرض وجود ندارد تا همین دو عامل را، به اجسامی نسبت دهیم که ابعادی پایین‌تر از محدودۀ تجربه ما دارد.
مکان و سرعت، ناورداهای مشاهده نیست، بلکه مشخصّه‌هایی از تصوّر ذره است، و باید به‌محض‌اینکه تصمیم به تشریح پدیده‌ای به مفهوم ذره‌ای گرفتیم از آن‌ها استفاده کنیم. بور بر این نکته پافشاری می‌کرد که زبان با مفاهیم ذهنی ما سازگاری دارد. ما نمی‌توانیم از استفاده از آن‌ها پرهیز کنیم، حتّی در جایی که همۀ خصوصیّات تجربۀ معمول را ندارد. هرچند الکترون از همۀ جهات مانند ذرۀ شن رفتار نمی‌کند، آن‌قدر خصوصیات ناوردا دارد که آن را چون چیزی حقیقی بدانیم.
واقعیتّی که رابطۀ عدم‌قطعیّت بیان می‌کند برای نخستین بار با تفسیر فرمالیسم نظریّه کشف شد. توضیحی که شهود ما را برانگیزد، پس از آن آمد، یعنی اینکه خود قوانین طبیعت جلوی اندازه‌گیری‌هایی با دقّت بی‌پایان را به‌سبب ساختار اتمی ماده می‌گیرد: ظریف‌ترین ابزارهای مشاهده، اتم یا فوتون یا الکترون است، زیرا همان درجه از بزرگی را دارد که اشیای مورد مشاهده. نیلس بور این فکر را با موفقیّت بسیار به‌کار برد تا محدودیّت‌های اندازه‌گیری هم‌زمان را برای کمیّت‌هایی نشان دهد که دستخوش قاعدۀ عدم‌قطعیّت است؛ او در اینجا این کمیّت‌ها را «مکّمل» یکدیگر می‌نامد.
می‌توانیم وضع آزمایش دربارۀ ذرات را، ازنظر مکان دقیق یا ازنظر تکانۀ دقیق تشریح کنیم، امّا نمی‌توانیم هردو کار را هم‌زمان انجام دهیم. این دو تشریح در فهم شهودی درست ما مکمّل یکدیگراست. میتوان توضیح این موارد را در کتاب‌های درسی فراوان یافت، بی‌آنکه من نیازی به پرداختن به آن‌ها داشته باشم.
صفت مکمّلی گاهی درمورد وجه ذره‌ای و وجه موجی پدیده‌ها به‌کار می‌رود – و من هم گمان می‌کنم کاملاً به‌اشتباه. می‌توانیم این‌ها را «وجوه دوگانه» بنامیم و صحبت از «دوگانگی» تشریح کنیم، امّا چیزی که مکمّل دیگری باشد، وجود ندارد، زیرا هردو تصویر برای هر پدیدۀ کوانتومی واقعی لازم است. تنها در موارد مرزی ممکن است تفسیری براساس ذرّۀ تنها یا موج تنها به‌دست دهیم. مورد ذره‌ای به مکانیک کلاسیک مربوط می‌شود و تنها دربارۀ جرم‌های بزرگ به‌کار می‌رود، برای مثال به مرکز جرم نظامی تقریباً بسته. مورد موجی مربوط به ذرات مستقّلی با شمار بسیار زیاد است، آن‌طورکه در نورشناسی معمول نشان داده می‌شود.
اینکه موج چیزی «واقعی» یا «تخیّلی» است تا با آن پدیده‌ها را از راهی درست تشریح و پیش‌بینی کنیم، مربوط به سلیقه است. من شخصاً ترجیح می‌دهم آن را موج احتمال بدانم، و حتّی در فضای سه‌بعدی، آن را چیزی واقعی بدانم که مسلماً بیش از ابزاری برای محاسبۀ ریاضی است؛ زیرا خصیصۀ یکی از ناورداهای مشاهده را دارد؛ و این به‌معنای پیش‌بینی نتایج محاسبۀ تجربه است، و انتظارمان از آن این است به همان اعداد میانگین، به همان انحراف میانگین و مانند آن برسیم، اگر آزمایش را تحت شرایط تجربی یکسان بارها انجام دهیم. به‌طورکلی، اگر با این مفهوم به چیزی واقعی و عینی اشاره نداشته باشیم، چگونه میتوانیم بر پیش‌بینی‌های احتمالی اعتماد کنیم؟ این ملاحظه همان‌قدر درمورد تابع توزیع کلاسیک f(t;p,q) مصداق دارد که دربارۀ ماتریس چگالی مکانیک کوانتومی .ρ(t;q,q^’ )
تفاوت میانf و ρتنها در قانون انتشار است، که آن را می‌توان با تفاوت میان نورشناسی هندسی و نورشناسی موجی مقایسه کرد. درمورد آخر، احتمال تداخل هم وجود دارد. ویژه‌تابع‌های مکانیک کوانتومی را میتوان مانند امواج نوری برهم نهاد و آن چیزی را ایجاد کرد که غالباً «تداخل احتمال» می‌نامند.

اگر بکوشیم مشاهده را تنها به‌زبان ذره بیان کنیم، این کار گاهی به وضعی گیج‌کننده می‌انجامد. آزمایش‌های سادۀ نوری می‌تواند نمونه‌هایی باشد. منبع نوری A را در نظر بگیرید که از راه دو شیار B_1,B_2 صفحه B را روشن می‌کند و نور داخل‌شونده بر صفحۀ C می‌تابد که موازی صفحۀ اوّل است. اگر تنها یکی از شیارها، مانند B_1 باز باشد، نمونۀ پراش را در اطراف خط مستقیم AB_1 می‌بینیم که به صفحه می‌رسد، با مرکزی با بیشترین روشنی و فریزهایی کوچکی در اطراف آن. وقتی هر دو شیار باز باشد، و مرکز حدّاکثری نمونۀ پراش روی هم می‌افتد، در این منطقه فریزهای تداخلی دیگری پدیدار می‌شود که به فاصلۀ دو شیار از یکدیگر وابسته است.
شدت، یعنی احتمال یافتن فوتون‌ها بر صفحه، در وضعیت بازبودن هر دو شیار، نتیجۀ برهم‌نهش ساده نیست، زمانی که تنها یک شیار باز باشد. دراین‌مورد، اگر از تصویر امواج احتمال، که پیدایی فوتون‌ها را معیّن می‌کند، استفاده شود، بی‌درنگ آن را درک خواهیم کرد. زیرا پراکندگی امواج به تمامی آرایش تجربی وابسته است، و چیز شگفتی با بستن یک شیار در اثر آن روی نخواهد داد. بااین‌همه اگر بکوشیم فقط از ذرات استفاده کنیم با دشواری مواجه می‌شویم، زیرا یک ذره باید از این و یا آن شیار عبور کرده باشد و بسیار جای شگفتی دارد که شیاری با فاصله‌ای معیّن بتواند بر نمونۀ پراش تأثیر گذاشته باشد. رایشن‌باخ، که کتابی جامع در‌بارۀ مبانی فلسفی مکانیک کوانتومی منتشر کرده، در این موارد از «ناهنجاری‌های علّی» حرف می‌زند. برای آنکه از سردرگمی‌ای که آن‌ها ایجاد می‌کند، پرهیز کند، تفاوتی میان پدیده‌ها قائل می‌شود، یعنی چیزهایی که به‌واقع مشاهده‌شدنی است، مانند پیدایی فوتون‌ها بر صفحه، و «پدیده‌های‌ متقابل»، یعنی ساختار‌های نظری در‌بارۀ آنچه بر فوتونی در طول مسیرش بر آن گذشته، چه از این شیار عبورکرده باشد چه از آن یکی. رایشن‌باخ به‌درستی می‌گوید که دشواری تنها زمانی بروز می‌کند که ازپدیده‌های متقابل بحث کنیم: «اینکه فوتونی از شیار B_1 گذشته باشد، گزاره‌ای از واقعیّتی فیزیکی‌ است که معنایی ندارد». اگر بخواهیم واقعیتّی فیزیکی از آن بسازیم، باید آرایش را طوری تغییر دهیم تا عبور فوتون از شیار 〖 B〗_1را بتوانیم به‌واقع ثبت کنیم؛ امّا با این کار هم حرکت فوتون بدون اختلال نیست، و پدیده بر صفحه تغییر می‌کند. رایشن‌باخ سرتاسر کتاب خود را صرف بحث دربارۀ این دشواری می‌کند. من با بسیاری از جنبه‌های بحث‌های او موافقم، هرچند با برخی دیگر آن‌ها مخالفم. برای مثال، او با پدیدۀ تداخل دو شیار، در آنچه خود تفسیر موجی می‌نامد، این‌گونه رفتار می‌کند؛ امّا به‌نظرم می‌رسد او در اینجا پرسش نورشناختی را اشتباه فهمیده است. برای آنکه گزاره‌های مجاز یا ممنوع (یا بی‌معنی) را صورت‌بندی کند، پیشنهاد استفاده از منطق سه‌ارزشی را می‌دهد، که در آن قانون «طرد شقّ ثالث» صدق نمی‌کند. احساسم این است که این پیشنهاد زیادی است. مسئله نه به منطق و یا به منطق ریاضی، بلکه به عقل سلیم باز می‌گردد، زیرا نظریّۀ ریاضی، که مشاهدات کنونی را به‌خوبی به‌حساب می‌آورد، تنها از منطق دو ارزشی استفاده می‌کند. مشکل زمانی بروز می‌کند که بکوشیم از مشاهدات کنونی فراتر رویم و بر استفاده از طیفی محدود و خاص از تصاویر ذهنی و عبارات متناظر آن‌ها پافشاری کنیم. بیشتر فیزیک‌دانان ترجیح می‌دهند تصوّر خود را با مشاهده سازگار کنند. دربارۀ خود مسئلۀ منطق، با خواندن کتاب رایشن‌باخ احساس کردم که به هنگام توضیح منطق سه‌ارزشی، خود او پیوسته منطق معمول را به‌کار برده است. شاید ممکن بود از این کار پرهیز کرد یا توجیهی بر آن ارائه داد. روزهایی را به‌یاد می‌آورم که با هیلبرت در تماس بودم درحالی‌که او بر مبانی منطقی ریاضیات کار می‌کرد. او دو رده از منطق را از هم تفکیک می‌کرد: منطق شهودی که به مجموعه‌های پایان‌دار گزاره‌ها، و منطق صوری (ریاضیات)، که او آن را بازی‌ای می‌دانست با نمادهای بی‌معنی که برای این ابداع شده بود تا به مجموعه‌های بی‌پایان ریاضی بپردازد، درحالی‌که می‌کوشید از تناقض پرهیز کند (مانند آنچه راسل در تناقض خود آورده). امّا گودل نشان داد که این تناقض‌ها دوباره بروز می‌کند، و امروزه عموماً تلاش هیلبرت را شکست خورده می‌دانند. گمان می‌کنم منطق سه‌ارزشی نمونۀ دیگری از بازی با نمادها است. مسلّم است که این بازی سرگرم‌کننده است، امّا شک دارم که فلسفۀ طبیعی چیز زیادی از این بازی نصیبش شود.
فکرکردن به نظریّۀ کوانتومی به تلاشی چند و کار عملی بسیار نیاز دارد. نکته، آن‌طورکه در بالا به آن اشاره کردم، این است که مکانیک کوانتوم وضعی را در دنیای عینی بیرون تشریح نمی‌کند، بلکه آرایش تجربی معیّنی را برای مشاهدۀ بخشی از دنیای بیرون. بدون چنین فکری حتّی صورت‌بندی مسئله‌ای دینامیکی در نظریّۀ کوانتومی ممکن نیست. امّا اگر آن را بپذیریم، عدم قطعیّت بنیادین در پیش‌بینی‌های فیزیکی، امری طبیعی خواهد بود، زیرا هیچ آرایش تجربی‌ای نمی‌تواند به‌طور مطلق دقیق باشد.
گمان می‌کنم هیچ طرفدار پرشور جبرگرایی نتواند منکر شود که مکانیک کوانتومی کنونی به‌خوبی به ما در تحقیقات امروزی‌مان خدمت کرده است. بااین‌همه، جبرگرای پرشور شاید همچنان امید داشته باشد روزی برسد که به‌جای مکانیک کوانتومی نظریّۀ جبرگرایی از نوع کلاسیک آن را بیاید.
اجازه دهید کمی دربارۀ اقبال وقوع چنین ضدانقلابی صحبت کنم، و چگونه انتظار دارم فیزیک در آینده توسعه یابد.
اگر امکان بازگشت به جبرگرایی را نفی کنیم، کاری بی‌مزه و ازسر خودپسندی انجام داده‌ایم، زیرا هیچ نظریّه‌ای نهایی نیست؛ ممکن است تجربه‌های تازه ما را ناگزیر به تغییر و حتی به بازبینی کند. با مروری به تاریخچۀ فیزیک آن‌طورکه انجام دادیم، افت‌وخیزها و لرزه‌هایی را می‌بینیم، امّا به‌ندرت بازگشتی به مفاهیم ابتدایی‌تر. امید دارم که نظریّۀ کنونی ما روزی عمیقاً تغییر کند، زیرا پر از دشواری‌هایی است که اصلاٌ آن‌ها را ذکر نکرده‌ام – مانند خودانرژی ذرات در برهم‌کنش با یکدیگر و بسیاری کمیّت‌های دیگر، مانند برخورد سطوح مقطع که به انتگرال‌های واگرا می‌انجامد، امّا هرگز هم امید نمی‌بندم که این دشواری‌ها با بازگشت به مفاهیم کلاسیک حل شود؛ به‌عکس، انتظارم این است که روزی برخی از این فکرها را فدا کنیم و از روش‌هایی استفاده کنیم که بیشتر انتزاعی است. آنچه گفتم، بیان عقیده‌ام بود. مشارکت جدی‌تر دربارۀ این مسئله، کار جی. و. نیومن است که در کتاب درخشان خود به‌نام مبانی ریاضی مکانیک کوانتومی آمده است. او نظریّۀ خود را بر اصلی موضوعی بنا می‌کند که از شمار کمی اصول موضوعی به‌دست آمده است که خصلتی کلی و پذیرفتنی دارد و دربارۀ مشخصّات «مقادیر انتظاری» (میانگین‌ها) و نمایش آن‌ها با نمادهای ریاضی است. نتیجه این شد که صورت‌گرایی مکانیک کوانتومی را تنها این اصول موضوعه معیّن می‌کند؛ به‌ویژه آنکه پارامترهای پنهان دیگری را نمی‌توان در آن وارد کرد که به‌کمک آن‌ها تشریح علّت‌ناگرا را بتوان به تشریحی جبرگرای تبدیل کرد. امّا اگر نظریّۀ آتی ناگزیر جبرگرای باشد، نمی‌تواند صورت تغییریافتۀ نظریّۀ کنونی باشد، بلکه باید نظریّه‌ای در ذات خود متفاوت باشد. چنین چیزی چگونه ممکن است، بی‌آنکه بخواهم گنجینه‌ای از نتایجی را که به‌خوبی استقرار یافته فدا کنم و آن را ازسر نگرانی به جبرگرایان بسپارم.
من شخصاً به امکان چنین چرخشی عقیده ندارم. هرچند از نارسایی‌های مکانیک کوانتومی آگاهم، معتقدم که بنیان علت‌ناگرای آن همیشگی خواهد بود، و این آن چیزی است که ما از دیدگاه این درس‌ها در‌باره علّت و تصادف به آن دل بسته‌ایم. آنچه باقی می‌ماند این است که نشان دهیم چگونه می‌توان قوانین ساده و به‌ظاهر جبرگرای فیزیک را از این مبانی به‌دست آورد.
نظریّۀ جنبشی کوانتومی ماده
مسئلۀ اصلی در نظریّۀ جنبشی کلاسیک مادّه این بود که چگونه برگشت‌پذیری حرکت مکانیکی ذرات نهایی را با برگشت‌ناپذیری قوانین ترمودینامیکی ماده یک‌جا آشتی دهیم. این کار با اعلام تفاوتی انجام شد که میان قوانین واقعی، که دقیقاً جبرگرا و برگشت‌پذیر است، امّا برای ما فانیان بیچاره به‌دلیل وسائل محدود مشاهده و تجربه، به کار نمی‌آید، و قوانین ظاهری که نتیجۀ بی‌اطلاعی ماست و با کار دلخواه خود به استخراج میانگین‌ آن‌ها پرداختیم، وجود دارد که خود نیز نوعی تقلّب یا تحریف از دیدگاه استوار جبرگرایی به شمار می‌آید.
نظریّۀ کوانتومی می‌تواند با وجدانی پاکیزه‌تر ظاهر شود. انحرافی جبرگرای در آن وجود ندارد و سراسر آماری است. این نظریّه هم‌اکنون بی‌اطلاعی جزئی را در سطحی محدودتر پذیرفته است و نیازی به تیمار قوانین نهایی ندارد.
برای آنکه پدیده‌ای دینامیکی را تشریح کنیم، باید، آن‌طورکه دیدیم، نظام را دو قسمت کنیم، یکی بخشی است که به آن دلبسته‌ایم، و دیگری «اختلال»؛ چنین فرقی کاملاً دل‌به‌خواه است، و با آن آرایش تجربی‌ای سازوار است که باید تشریح شود. حال می‌توان از این وضع در حلّ مسائل ترمودینامیک استفاده کرد. برای این کار دو جسم (و یا بیشتر) را که در ابتدا جدا از یکدیگر است و در حالت تعادل، در نظر ‌می‌گیریم، سپس آن دو جسم را در تماس با یکدیگر قرار می‌دهیم و آن‌ها را به حال خود رها می‌کنیم تا دوباره به حالت تعادل برسد.
فرض کنیم برای جسم اول همیلتونی آن H^((1)) باشد، و برای جسم دوم، H^((2)) باشد، می‌توان نوشت:
(31.9) H_0=H^((1))+H^((2))
پس این دو همیلتونی ترکیبی دو جسم جداگانه است. اگر این دو جسم را در تماس با یکدیگر قرار دهیم، همیلتونی آن‌ها متفاوت خواهد بود، به‌عبارتی:
(32.9) H=H_0+V
که در آن V برهم‌کنش است، که برای مادۀ معمولی یک‌پارچه به صورت نیروهای سطحی خواهد بود. اکنون (9.32) دقیقاً صورت همیلتونی مسئلۀ دینامیکی بنیادی ما را دارد، اگر به H_0 «دلبسته» باشیم: و این درست همان مورد ماست.
چون رفتار نظام ترکیبی را با خود متغیرهای نظام مختل‌نشده نشان می‌دهیم، یعنی با انتگرال‌های حرکت Λ_1^((1)),Λ_2^((1)),…، جسم اول، و انتگرال‌های حرکت Λ_1^((2)),Λ_2^((2)),…، جسم دوم، که همگی باهم انتگرال‌های حرکت دو جسم جدا از هم را می‌سازد، که با H_0 نشان داده می‌شود. درنتیجه می‌توانیم از راه‌حلّی که مسئلۀ دینامیکی پیشین به ما داده بود، استفاده کنیم، به عبارتی (9.25):

(33.9) P(t,λ)=P(λ)+∑_(λ^’)▒  J(λ,λ^’ ){P(λ^’ )-P(λ)}+⋯ ,
که در آن اکنون λ دو مجموعه از ویژه‌مقدارهای λ^((1))=(λ_1^((1)),λ_2^((1)),…) از Λ_1^((1)),Λ_2^((1)),…، و λ^((2))=(λ_1^((2)),λ_2^((2)),…) از Λ_1^((2)),Λ_2^((2)),… را نشان می‌دهد.
در ابتدا به تعادل آماری می‌پردازیم. سپس:
P(t,λ)=P(λ) ;
که درنتیجه جمع آن باید ناپدید شود، پس باید داشته باشیم:
(34.9) P(λ^’ )=P(λ) ,
برای هر دو حالت λ,λ^’ که در آنها احتمال گذار J(λ,λ^’ ) صفر نیست. امّا پیشتر دیدیم که این مقادیر J(λ,λ^’ ) در همۀ موارد عملی متناسب با زمان است و اگر انرژی حفظ نشود E=E^’، (فرمول‌های 9.27، 9.28) ناپدید می‌شود. اگر مواردی را که در آن‌ها ثابت‌های حرکت وجود دارد و قانون پایستگی در آن عمل می‌کند (مانند تکانۀ زاویه‌ای در نظام‌هایی که آزادانه می‌چرخد)، نادیده بینگاریم، می‌توانیم P(λ) را با P(E) جایگزین کنیم. امّا چون نظام کلّی از دو بخش عملاً مستقل از یکدیگر تشکیل می‌شود، بنابراین داریم:
(35.9) P(E)=P(λ)=P_1 (λ^((1) ) ) P_2 (λ^((2) ) )
که در آن دو عامل نمایانگر احتمال یافتن بخش‌های جدا ازهم است که در آغاز در حالت‌های λ^((1)) و λ^((2)) بوده است. نیازی نیست که این فاکتورگیری را از اصول موضوعۀ حساب احتمالات بگیریم؛ این نتیجۀ خود مکانیک کوانتومی است؛ زیرا اگر انرژی حاصل‌جمعی به شکل (9.31) باشد، راه‌حل درست معادلۀ بنیادی برای عمل‌گر چگالی زیر:

(36.9) ∂ρ/∂t=[H,ρ]
چنین است، ρ=ρ_1 ρ_2، که در آن ρ_1 اشاره به نظام اوّل H^((1)) دارد و ρ_2 اشاره به نظام دوم H^((2)) و چون طبق (9.24) P(t,λ)=ρ(t;λ,λ) است، حاصل فرمول (9.35) تنها برای مورد مانا (تا‌زمانی‌که بتوان از برهم‌کنش‌ها صرف‌نظر کرد)، صادق است. حال اگر E^((1)) (λ^((1)) ) و E^((2)) (λ^((2)) ) انرژی بخش‌های جدا از هم باشد، از (9.35) چنین به دست می‌آید:
(37.9) P(E^((1))+E^((2)) )=P_1 (λ^((1)) ) P_2 (λ^((2)) )
که معادلۀ تابعی است برای سه تابع P,P_1,P_2. راه‌حلّ آن را به‌آسانی می‌توان یافت که چنین است (ضمیمۀ 31):
(38.9) P=e^(α-βE),□( ) P_1=e^(α_1-βE_1 ),□( ) P_2=e^(α_2-βE_2 )
با:
(39.9) α=α_1+α_2,□( ) E=E_1+E_2
و همان β در هر سه عبارت.
پس بازهم توزیع بندادی گیبس را می‌یابیم، امّا با تغییری که نشان می‌دهد انرژی‌های پدیدار‌شده تابع‌های صریحی از q و p (همیلتونی‌ها) نیست، بلکه ویژه‌مقدارهای λ,λ^((1)),λ^((2)) از انتگرال‌های حرکت است.
این استنتاج آشکارا بازماندۀ مستقیم دلیل اوّل قانون توزیع سرعت ماکسول است که پیشتر دربارۀ آن در (6.10) بحث کردیم. امّا چون دلیل استقلال، باتوجّه‌به سه مؤلّفۀ سرعت توجیه‌پذیر نیست، برای ثابت‌های حرکت Λ کاملاً درست است. اینکه قانون ضرب احتمال و هم‌افزایی انرژی برای نظام‌های مستقل به توزیع نمایی قانون می‌انجامد، مسلّماً چیزی است که بسیاری از نویسندگان به آن توجّه کرده‌اند، و ازجمله شخص گیبس که خود آن را به‌کار برده است. این استدلال به‌کمک مکانیک کوانتومی، دلیلی دقیق شد تا مرزهای اعتبار نتایج را نشان دهد. زیرا اگر ثابت‌هایی برای حرکت به‌جز ثابت‌های انرژی وجود داشته باشد، قانون پراکندگی و درنتیجه تمام ترمودینامیک باید تغییر کند. چنین چیزی، برای مثال، دربارۀ اجسام درحال حرکت آزاد در فضا، مانند ستارگان روی می‌دهد، که در آنجا کمیّت β=1/kT دیگر عددی نیست، بلکه مؤلّفۀ زمان چهاربرداری نسبیّتی است، و سایر مؤلّفه‌ها نشان‌دهندۀ βv بوده، که در آن v میانگین سرعت جسم است. امّا این موضوع خارج ار چارچوب این درس‌هاست.
ساده‌ترین و بحث‌انگیزترین استفاده از آمار کوانتومی در‌مورد گازهای کامل است. برای نخستین بار اینشتین متوجّه شد که برای دماهای بسیار پایین انحراف‌هایی از قوانین کلاسیک ظاهر می‌شود. بوز، فیزیک‌دان هندی، نشان داد که می‌توان قانون تابش پلانک را باتوّجّه‌به «گاز فوتون» به‌دست آورد، به‌شرط‌آنکه فوتون‌ها را چون ذرات شناخته‌شدنی فردی ندانیم، بلکه آن‌ها را ذراتی بدانیم که نمی‌توان از یکدیگر تمیز داد. اینشتین این فکر را به اتم‌های مادی تسّری داد. بعدها معلوم شد این به‌اصطلاح آمار بوز- اینشتین نتیجۀ مستقیم مکانیک کوانتومی بود؛ درحدود همان زمان، فرمی و دیراک موردی مشابه یافتند، که دربارۀ الکترون و سایر ذرات با اسپین کاربرد داشت.
در زبانی که در اینجا از آن استفاده شد، دو «آمار» را میتوان به‌سادگی با تقارن تابع چگالی نشان داد:
ρ(x_1,x_2,…,x_N;x_1^’,x_2^’,…,x_N^’ ) .
در هر دو مجموعۀ دلایل، درمورد ذرات تشخیص‌ناپذیر از یکدیگر، همواره آمارها متقارن است، یعنی اگر بر هر دو مجموعه جابه‌جایی‌ یکسانی اعمال شود، بی‌تغییر باقی می‌ماند. امّا، درصورتی‌که تنها یک مجموعه را جابه‌جا کنیم، ρ هم در همۀ جایگشتی‌ها درمورد بوز-اینشتین بی‌تغییر می‌ماند، در‌حالی‌که درمورد فرمی-دیراک تنها به هنگام جایگشتی‌های زوج چنین چیزی روی می‌دهد، و تغییر علامت تنها برای جایگشتی‌های فرد اتفاق می‌افتد.
اگر این را به نظامی از ذرات آزاد با ساختار یکسان اعمال کنیم، بی‌درنگ از قانون توزیع بندادی به خواص گازهای به‌اصطلاح منحط می‌رسیم. چون این موضوع‌ها در کتاب‌های درسی به‌وفور وجود دارد، درنتیجه به آن‌ها نمی‌پردازیم (ضمیمۀ 32).
پس از پرداختن به تعادل آماری، اکنون باید بپرسیم آیا مکانیک کوانتومی می‌تواند این واقعیّت را نشان بدهد که هر نظامی با اتلاف انرژی مشهود به گرما، با گذشت زمان به تعادل نزدیک می‌شود، یا به‌عبارت دیگر قضیّۀ H بولتزمن همچنان صادق است.
البتّه چنین است، و اثبات آن هم مشکل نیست. آنتروپی کل را، درست مانند آنتروپی در نظریّۀ کلاسیک، به‌صورت زیر می‌توان معیّن کرد:

(40.9) S=-k (∑▒ P(t,λ) log⁡P(t,λ))/(∑_λ▒  P(t,λ) )
که در آن جمع باید برای همۀ مقادیر λ_1,λ_2,… انجام شود، یعنی برای هر بخش جداگانه از نظام جفت‌شده برای λ_1^((1)),λ_2^((1)),…، و λ_1^((2)),λ_2^((2)),…، و همچنین برای تمامی نظام در هر دو مجموعه. در مورد نظام‌های جفت‌شده با اتصال‌های سست، احتمال‌ها، آن‌گونه که دیدیم، در هر زمان قابلیّت ضرب را دارد:
(41.9) P(t;λ^((1)),λ^((2)) )=P_1 (t,λ^((1)) ) P_2 (t,λ^((2)) )
از این به‌آسانی نتیجه می‌شود که آنتروپی‌ها جمع‌شدنی است،
(42.9) S=S_1+S_2
اکنون در (9.40) عبارت صریح P(t,λ) را از (9.33) جایگزین می‌کنیم، که مخصوص جفت‌شدگی‌های ضعیف است؛ سپس با نادیده‌گرفتن توان‌های بالاتر مقادیر کوچک J(λ,λ^’ ) به دست می‌آید:
که در آن:

(43.9)
S=S_0+k/2 (∑_(λ,λ^’)▒  J(λ,λ^’ )Q(λ,λ^’ ))/(∑_λ▒  P(λ))

(44.9)
Q(λ,λ^’ )={P(λ)-P(λ^’ )}log⁡P(λ)/P(λ^’ )
است.
احتمال گذار J(λ,λ^’ )، آن‌طورکه دیدیم، در همۀ موارد عملی متناسب با زمان است و برای گذاری ناپدید می‌شود که برای آن انرژی حفظ نشده باشد؛ بر اساس (9.27) و (9.28) خواهیم داشت:

(45.9) J(λ,λ^’ )=t 2π/ħ |V(λ,λ^’ )|^2 δ(E-E^’ )
که در آن V پتانسیل برهم‌کنش است. این مقادیر J(λ,λ^’ ) همواره مثبت است. بنابراین مخرج ∑_λ P(λ) هم چنین است، ضمن ‌آنکه Q(λ,λ^’ )، تازمانی‌که P(λ) با P(λ^’ ) تفاوت داشته باشد، مثبت می‌ماند.
درنتیجه S با گذشت زمان افزایش می‌یابد و به‌ این کار ادامه می‌دهد تا زمانی که به تعادل برسد؛ زیرا تنها در این حالت است که دیگر افرایش S ادامه پیدا نمی‌کند، آن‌چنان‌که دیدیم در اینجا تعادل را چون حالت نخستین می‌انگاریم (که در آن طبق (9.34) Q(λ,λ^’ )=0برای همه گذار‌هایی است که ناپدید نمی‌شود).
اکنون باقی می‌ماند تحقیق دراین‌باره که آیا جنبش کوانتومی، برای ماده‌ای یک‌‌پارچه، به قوانین معمول حرکت و رسانایی گرمایی می‌انجامد، آن‌طورکه کوشی صورت‌بندی کرده است. تازمانی که این قوانین با عبارات تنش، انرژی، و شار ماده و گرما بیان شود، چنین چیزی درواقع درست است. بااین‌حال، آن‌طورکه دیدیم، این تنها نصف ماجراست، زیرا معادله‌های کوشی، تا زمانی که وابستگی آن‌ها به کمیّت‌های کرنش، دما، و میزان تغییر آن‌ها در فضا و زمان را دراختیار نداشته باشیم، خالی از هرگونه معنایی است. حال در روابط اخیر، تفاوت میان نظریّۀ کوانتومی و نظریّۀ کلاسیک بروز می‌کند و می‌تواند ابعاد گسترده‌ای در شرایط مناسب، به‌خصوص در دماهای پایین بیابد. نظریّه‌ای که در زیر نشان داده شده، عمدتاً کار همکارم گرین است.
شیوۀ صوری به‌دست‌آوردن معادله‌های هیدروترمال شباهت زیادی به شیوه‌ای دارد که از آن در نظریّۀ کلاسیک استفاده کردیم. با شروع با معادلۀ بنیادی دربارۀ N ذره، داریم:

(46.9) (∂ρ_N)/∂t=[H_N,ρ_N ]
که در آن فرایند ساده‌سازی برای به‌دست آوردن معادله‌های یکسانی برای N-1,N-2,…، ذرات به کار می‌رود، تا قوانین حرکت ذره به‌دست آید.
ساده‌سازی، درست مانند آنچه در نظریّۀ کلاسیک انجام می‌دهیم، مشتمل بر میانگین‌گیری یک ذره، مثلاً ذرۀ آخر، بر روی مجموعۀ ذرات است. مختصّات هر یک از ذرات دوبار در آرگومان‌های ماتریس ظاهر می‌شود:
ρ_n=ρ_n (x^((1)),x^((2)),…,x^((n));x^((1)^’ ),x^((2)^’ ),…,x^((n)’) )
در اینجا x^((n))=x^((n)’) قرار می‌دهیم و انتگرال آن را بر روی x^((n)) به‌دست می‌آوریم. نتیجه χ_n ρ_n است، ماتریسی که تنها به x^((1)),…,x^((n-1));x^((1)^’ ),…,x^((n-1)’) وابسته است. با همان بهنجار‌سازی، مانند آنچه در نظریّۀ کلاسیک می‌شناسیم، (6.40)، می‌توانیم بنویسیم:
(47.9) χ_(q+1) ρ_(q+1)=(N-q) ρ_q
با به‌کارگیری چند‌بارۀ این عمل درمورد (9.46) به‌دست می‌آوریم (ضمیمۀ 33):

(48.9) (∂ρ_q)/∂t=[H_q,ρ_q ]+S_q □( ) (q=1,2,…,N)
که در آن:

(49.9) S_q=∑_(i=1)^q▒  χ_(q+1) [Φ^((i,q+1)),ρ_(q+1) ]
کاملاً با معادله‌های کلاسیک متناظر خود شباهت دارد (6.44)، (6.45). در اینجا H_q به معنای همیلتونی q ذرات است، Φ^((i,q+1)) برهم‌‌کنش میان یکی از این (i) و ذرۀ بعدی (q+1) است، و S_q، هم چون قبل، عبارت آماری است.
کمیّت ρ_q (x,x)=n_q (x) نشان‌دهندۀ عدد تعمیم‌یافتۀ چگالی برای «توده‌ای» از q ذرات بوده، و به‌ویژه n_1 (x) یک عدد عادی چگالی است.
اکنون می‌توانیم معادله‌های تعمیم‌داده‌شدۀ هیدروترمودینامیکی را از (9.47) با فرایندی مشابه آنچه درنظریّۀ کلاسیک به‌کار می‌رود به‌دست آوریم. به‌جای انتگرال‌گیری روی سرعت، باید جمله‌های قطری ماتریس را در نظر بگیریم (با قراردادن x=x^’)، و همچنین باید جانب احتیاط را درمورد جابه‌جایی نبودن حاصل‌‌ضرب‌هایی که به‌کار متقارن‌کردن می‌آید، رعایت کنیم، برای مثال αβ را با1/2 ( αβ+βα) (ضمیمۀ 33) جایگزین کنیم. درست مانند آنچه در معادله‌های کلاسیک حرکت دیدیم، در اینجا هم انرژی جنبشی میانگین ذره (i) در خوشه‌ای از ذرات q ظاهر می‌شود که با تقسیم آن بر 1/2 k، می‌توان آن را دمای جنبشی ذره (i) در خوشۀ q ذرات نامید. شاید انتظارمان این باشد تا کمیّت T_1 متناظر با دمای معمول باشد؛ امّا چنین نیست.
از نمونه‌های ساده (مثلاً نوسانگر هماهنگ) به‌خوبی می‌دانیم که در نظریّۀ کوانتومی تعادل آماری دمای ترمودینامیکی T، چون انتگرالی تعریف شده است که شمارندۀ انتگرال آنتروپی است، و با میانگین تکانۀ مربّع برابر نیست. در اینجا، درمورد بی‌تعادلی نه تنها چنین چیزی رخ می‌دهد، بلکه انحرافی مشابه هم درمورد فشار اتفاق می‌افتد. فشار ترمودینامیکی p، که کاری است که تراکم در تغییر حجم واحد انجام می‌دهد، این گونه معیّن می‌شود؛ فشار جنبشی بخش همسانگردی در تانسور‌های تنش در معادله‌های حرکت است. این دو مقدار در نظریّۀ کوانتومی باهم فرق دارد.
اثر‌های مشاهده‌شدنی که این اختلاف ایجاد می‌کند، تنها در حالت‌هایی با دمای بسیار پائین روی می‌دهد؛ زیرا درمورد گازها این دماها آن‌قدر پایین است که اصلاً نمی‌توان به آن‌ها دست یافت، چون تراکم خیلی پیشتر اتفاق می‌افتد. در این حوزۀ دمایی بیشتر مواد، به‌صورت بلورهایی جامد است؛ به‌همین‌دلیل می‌توان از نظریّۀ کوانتومی نسبتاً سادۀ اینشتین استفاده کرد، که در آن شبکۀ ارتعاشی برابر با مجموعه‌ای از نوسانگرها («مد عادی») است. این نظریّه نشان‌دهندۀ اثرهای کوانتومی در حالت تعادل (گرمای ویژه، انبساط گرمایی) در دمای پایین تقریباً نزدیک به صفر است، درحالی‌که پدیدۀ شار درعمل مشاهده‌شدنی نیست.
تنها دو مورد از پدیده‌های کوانتومی شار وجود دارد که در دماهای بسیار پایین به‌روشنی دیده می‌شود. یکی هلیوم مایع است، که به‌علّت جرم کم و چسبندگی ضعیف نمی‌تواند حتّی تحت فشار عادی در پایین‌ترین دما به‌صورت بلور دربیاید و به ابرمایعی در تقریباً دمای دو درجۀ مطلق تبدیل می‌شود. مورد دیگر، الکترون‌های درون فلزات است، که البته نه به‌صورت مایعی عادی، بلکه از بسیاری جهات رفتاری مانند مایع عادی دارد، آن هم به دلیل جرم بسیار کم، و درنتیجه خواص کوانتومی از خود بروز می‌دهد، که شگفت‌ترین آن‌ها ابررسانایی است.
به منظور تأیید اصول آمار کوانتومی، تحقیق دربارۀ دو موردی که ذکر کردیم بسیار جذّاب است. هر دو مورد را در ادین‌بور در بخش زیر نظر من به‌طور نظری مطالعه کردیم، و من هم مایلم چند کلمه ای از نتایجی بگویم که در آنجا به‌دست آمد.
در حالت ابرمایع، هلیوم رفتاری بسیار متفاوت با مایع عادی دارد. به‌نظر می‌آید که چسبندگی خود را تقریباً ازدست می‌دهد؛ هلیوم از درون لوله‌های مویی و یا شیار‌هایی بسیار تنگ با سرعتی مشخّص، تقریباً مستقل از فشار، جریان می‌یابد، و به دیواره‌های مخزن می‌خزد، و به‌همین ترتیب ادامه می‌دهد. فلز در حالت ابررسانایی، چنانچه نامش هم همین را می‌گوید، مقاومت الکتریکی اندازه‌گرفتنی ندارد، و رفتاری غیرعادی به‌شیوه‌های دیگر دارد. خصلت مشترک و عیان هردو پدیده این است که هردو نقطۀ گذار کاملاً روشنی دارد که خود را در بی‌هنجاری گرمای ویژه نشان می‌دهد: این وضع با نزدیک‌شدن به مقدار بحرانی T_c با شیبی زیاد از پایین افزایش می‌یابد، و ناگهان برای T=T_c کاهش می‌یابد به طوری که گراف به‌نظر مانند حرف یونانی λ می‌آید؛ درنتیجه عبارت نقطۀ λ برای T_c خواهیم داشت. امّا این شباهت چندان ریشه‌دار نیست.کجا میتوانیم، از دیدگاه نظری، انتظار داشته باشیم که پدیده‌های کوانتومی آغاز شود؟ به‌طور مسلّم زمانی که تکانۀ p ذرات، و برخی مشخّصه‌های طول l به حدّی رسیده باشد که اصل عدم‌قطعیّت نشان می‌دهد، یعنی pl∼ħ. اگر انرژی جنبشی p^2/2m را برابر با kT انرژی گرمایی بدانیم، دمای بحرانی از kT_c∼ħ^2/2ml^2 به‌دست می‌آید. اگر به‌جای k و ħ مقادیر عددی معلوم و برای m جرم اتم هیدروژن ضرب در جرم اتمی عدد μ را قرار دهیم، در درجۀ مطلق خواهیم داشت:

(50.9) T_c∼23/(μl^2 )
که در آن l اندازۀ آن در واحد آنگستروم (10^(-8) ” ” cm.) است.
امّا برای اتم هلیوم، داریم که μ=4، و اگر l میانگین فاصله بین دو اتم باشد (از مرتبۀ انگستروم)، از 1″Å” چند درجه به‌دست می‌آید که با گذار مشاهده‌شده در تقریباً دو درجۀ مطلق تطابق دارد. امّا برای الکترون‌های درون فلز خواهیم داشت μ=1/1840. اگر حالا یک الکترون درهر اتم در نظر بگیریم و l را میانگین فاصله بدانیم، بازهم از مرتبۀ یک انگستروم خواهد بود، و درنتیجه عبارت (9.50) چندهزار درجه می‌شود و بنابراین هیچ رابطه‌ای با نقطۀ λ ابررسانایی نخواهد داشت. این دما، درواقع، معنای دیگری دارد؛ آن را به‌اصطلاح «دمای تباهی» T_g سیّال الکترونیکی می‌خوانند؛ برای مثال پایین‌تر از دمای T_g، در دماهای عادی، انحراف‌های قوی از رفتار کلاسیک وجود دارد (برای مثال سهم بسیار ناچیز الکترون در گرمای ویژه)، هرچند خصلت فوق‌العادۀ ابررسانایی را ندارد. برای توضیح نقطۀ λ ابررسانایی، که برای همۀ فلز‌ها در چند درجۀ مطلق روی می‌دهد، باید l را حدود دویست‌بار بزرگ‌تر اختیار کنیم (∼200″Å”). از‌آنجایی‌که تفسیر این طول هنوز موضوع مناقشه است، بیش از این به موضوع ابررسانایی نخواهم پرداخت (ضمیمۀ 34).
همچنین نمی‌خواهم درمورد حالت ابرسیّالی هلیوم، توضیحی کامل دربارۀ گسستگی λ بدهم، امّا مایلم توجّه‌تان را به خواص ترمودینامیکی این ابرسیال در پایین‌تر از نقطه λ، معطوف کنم، که دیگر He II نامیده می‌شود.
پیشتر گفتم که در سّیالات کوانتومی باید میان دمای معمول ترمودینامیکی T و فشار p، با دمای جنبشی T_1 و فشار p_1 فرق گذاشت. معادله‌های هیدروترمالی تنها T_1 و p_1 را دربر دارد و این کمیّت‌ها در حالت تعادل ثابت است، یعنی در حالتی که تغییری در زمان پدیدار نشود. امّا T_1 و p_1 تابع‌های ساده‌ای از T و p نیست، بلکه درعین‌حال به سرعت و گرادیان آن وابسته است. بنابراین در چنین حالتی جریان‌های دائمی از جرم و انرژی ممکن است جاری شود، گویی چسبندگی‌ای اصلاً وجود ندارد. چنین چیزی در تراز انرژی، که می‌تواند از معادله‌های هیدروترمال نتیجه شود، بازتاب دارد. نتیجۀ شگفتی که به‌دست می‌آوریم به‌نظر ناقض قانون اوّل ترمودینامیک می‌آید؛ زیرا تغییر دما به‌صورت زیر نشان داده می‌شود:
(51.9) dQ=TdS=dU+pdV-Vdπ
که در آن همۀ نمادها همان معنای همیشگی خود را دارد، و π=p_1-p تفاوت میان فشار جنبشی و فشار ترمودینامیکی است. این معادله با عبارت ترمودینامیکی عادی (5.12) در جملۀ -Vdπ فرق دارد؛ اگر ترمودینامیک به‌درستی ادعای اعتبار همه‌گیر دارد، چنین چیزی چگونه ممکن است؟ این ادعا کاملاً درست است، امّا صورت معمول عبارت برای dQ به این فرض وابسته است که فرایندی تقریباً ایستا، یعنی بسیار کند را می‌توان دنباله‌ای از تعادل دانست که هر یک را مقادیر لحظه‌ای فشار و حجم تعیین می‌کند. در حوزۀ کلاسیک این حرف درست است، زیرا اگر میزان تغییر کنش خارجی (تراکم، منبع گرمایی، و غیره) کند شود، همۀ سرعت‌ها در سیال رو به ناپدیدشدن دارد. امّا در مکانیک کوانتومی چنین نیست. اگر مختصات ذرات به مناطق بسیار کوچکی محدود شود، در نتیجۀ شرایط عدم‌قطعیت، تکانه و سرعت نمی‌تواند بی‌نهایت کاهش یابد. تحقیقی دربارۀ معادله‌های هیدروترمال نشان می‌دهد که این اثر، حتّی برای سرعت‌های مشهود، تااندازه‌ای حفظ می‌شود؛ این نکته هم درست است که تعادل آماری اصیلی می‌تواند در جایی روی دهد که چگالی یک‌دست باشد و جریان‌های جرم و انرژی ناپدید شود، امّا حالت‌های ممکنی هم وجود دارد که در آن‌ها برخی ترکیب‌های جریان‌های جرم (سرعت‌ها) و انرژی (گرما) به‌طور دائم وجود دارد. ایجاد این‌ها به‌طور کامل به شیوه‌ای وابسته است، که گرمای dQ برای نظام فراهم باشد و نتوان آن را با کاهش زیاد میزان تغییر حجم حذف کرد. درنتیجه ما با سقوط قانون پایستگی انرژی، بلکه با صورت‌بندی ترمودینامیکی سنّتی آن روبه‌روییم.
نتایج این عبارت اضافی در (9.51) را می‌توان به‌آسانی به‌جای واردکردن انرژی داخلی، با واردکردن کمیّت زیر:
(52.9) E=U-πV
در عبارت (9.51) برای dQ، مشاهده کرد، که سپس به‌این صورت در می‌آید:
(53.9) dQ=dE+p_1 dV
که در آن p_1=p+π همان فشار جنبشی است. این نشان می‌دهد گرمای ویژه در حجم ثابت، این چنین است:
(54.9) c_v=(dQ/dT)_v=(dE/dT)_v
و نه (dU/dT)_v، آن‌چنان‌که در ترمودینامیک کلاسیک بود. اکنون اگر p_1 چنین باشد، و درنتیجه π=p_1-p بسیار بزرگ در T=0 باشد و با افزایش T کاهش یابد تا به مقدار صفر در نقطۀ λ برسد، برای c_v (T) به منحنی‌ای می‌رسیم که درست همان شکلی را دارد که همین‌حالا دیدیم. پس بی‌هنجاری λ به‌سبب جفت‌شدگی جریان‌های گرمایی با حرکت جرمی است که مشخصّۀ سیّال‌های کوانتومی است. این حرکتی مولی، و ماکروسکوپی است که شکل آن به شرایط هندسی وابسته است، که تصوّر می‌شود از ریسمان‌های بستۀ بسیار ریزی در سیال درحال حرکت با سرعت زیاد، و یا گروه‌هایی از امواج چگالی درست شده است.
چندین نویسنده (ازجمله تسا، مندل‌سون، لانداؤ) از این آزمایش‌ها به تصوّر مشابهی رسیدند؛ آن‌ها از سیّالی سخن می‌گویند که از ملغمه‌ای از اتم‌های عادی و اتم‌های به‌ویژه منحط (ذرات- Z) درست شده است، که در پایین‌ترین حالت کوانتومی است که نه بار انرژی دارد نه بار آنتروپی. بااین‌همه نمی‌توان در سیّالی به اتم‌های تنها، حالتی کوانتومی داد.
چنین ملاحظاتی سرنخی هم بر فهم دیگر پدیده‌های بی‌هنجار، مانند جریان از درون لوله‌های مویی یا شیار، آنچه به‌اصطلاح «اثر فواره‌ای»، «صدای دوم» و غیره می‌نامیم، به‌دست می‌دهد. گرین خصوصیات هلیوم دو را مفصّل مطالعه کرده است و به این نتیجه رسیده که نظریّۀ کونتومی سیّالات می‌تواند رفتار غریب این ماده را به‌حساب بیاورد.
به این مسئله در برخی از جزئیّات آن پرداخته‌ام، زیرا علناً بر ما آشکار می‌کند که پدیده‌های کوانتومی تنها به فیزیک اتمی یا میکروفیزیک، هنگامی که بخواهیم ذرات منفرد را مشاهده کنیم، محدود نمی‌شود، بلکه در فیزیک مولی هم، که به مادۀ یک‌پارچه می‌پردازد، ظاهر می‌شود. این تمایز، از دیدگاه اصولی، که در فیزیک کلاسیک اهمیّت بسیار زیادی دارد، در فیزیک کوانتومی بسیاری از معانی خود را از دست می‌دهد. قوانین نهایی آماری است، و صورت جبرگرای معادله‌های مولی برای برخی میانگین‌ها درست است، درحالی‌که برای شمار بسیار ذرات یا کوانتوم‌ها درست همین را می‌خواهیم بدانیم.
و حالا هم قوانین مولی در همۀ فرض‌های علیّت کلاسیک صدق می‌کند، پس: آن‌ها جبرگراست و با اصول هم‌جواری و تقدّم مطابقت دارد.
با آنچه گفتیم، تأمّلات ما دربارۀ علت و تصادف در فیزیک به پایان می‌رسد. پیشتر دیدیم چگونه فیزیک کلاسیک بیهوده تلاش کرد تا مشاهدات کمّی فزایندۀ خود را با افکار پیش‌پنداشته دربارۀ علیّت آشتی دهد، که برآمده از تجربۀ روزمرّه بود، امّا تا حدّ فرض‌های متافیزیکی ارتقا یافته بود، و چگونه در نبرد برضدّ ورود ناخواندۀ تصادف شکست خورد. امروز ترتیب این افکار به‌عکس است: تصادف مفهوم برتر شده، مکانیک بیان قوانین کمی آن، و دلایل تاب‌نیاوردنی علیّت را، با همۀ خصیصه‌هایش در دنیای تجربه‌های معمول، قوانین آماری اعداد بزرگ به‌صورتی رضایت بخش توضیح می‌دهد.
فصل دهم
پیامدهای متافیزیکی
تفسیر آماری‌ای را، که در بخش قبلی ارائه دادم، اکنون فیزیک‌دانان در سراسر جهان عموماً پذیرفته‌اند، هرچند با شمار اندکی از استثنائات، و در آن میان نامدارترین آن‌ها. همان‌طور که پیشتر هم گفتم، اینشتین این تفسیر را نمی‌پذیرد. او درعین‌حال به بازگشت به نظریّه‌ای جبرگرا اهتمام دارد و به آن عقیده دارد. برای آنکه فکر اینشتین را نشان دهم، قسمت‌هایی از دو نامۀ او را ذکر می‌کنم. نخستین نامۀ او در تاریخ هفتم نوامبر 1944 نوشته شده و در آن چنین می‌آید:
«انتظارات علمی، ما را به جهت‌های متضاد کشانده است. شما به خدایی عقیده دارید که طاس می‌اندازد، و من به حکم‌رانی بی‌عیب قانون در جهانی که چیزی عینی در آن وجود دارد، که می‌کوشم به شیوه‌ای کاملاً نظری به آن دست یابم. امید دارم کسی پیدا شود که راهی واقعی‌تر، یا با بنیادی ملموس‌تر، برای چنین مفهومی بیابد که به من داده شده است. کامیابی بزرگ نظریّۀ کوانتومی، در آغاز کار، نمی‌تواند عقیدۀ من را تغییر دهد تا طاس‌بازی اصولی خدا را بپذیرم.»
همین‌که مشغول نوشتن این سطور بودم، نامۀ دوم به دستم رسید (به‌تاریخ سوم دسامبر 1947)، که این بخش آن را اینجا نقل می‌کنم:
«من نمی‌توانم نظرم دربارۀ فیزیک را به‌نحوی اثبات کنم که شما آن را منطقی بیابید. البته می‌بینم که تفسیر آماری (که لزوم آن را در چارچوب فرمالیسم کنونی خودتان برای اوّلین بار به‌روشنی پذیرفتید) مقدار زیادی از حقیقت را در خود دارد. با‌این‌همه نمی‌توانم آن را جداً باور کنم، زیرا این نظریّه با این اصل ناسازگار است که فیزیک باید واقعیّتی را در فضا و زمان نشان دهد، بی‌آنکه گمان کند اشباح به کنش ازفاصله می‌پردازند. اعتقاد راسخ دارم که سرانجام به نظریّه‌ای دست می‌یابیم که در آن اشیاء با قانون به‌هم مرتبط است و نه
با احتمالات؛ و من هم همان‌طورکه حتّی در گذشتۀ نزدیک آن را امری مسلّم می‌پنداشتند، چنین گمان می‌کنم. من نمی‌توانم دلایل منطقی برای عقیده‌ام ارائه دهم، امّا می‌توانم تنها انگشت کوچکم را گواه بگیرم، که هیچ مرجعیّتی را که بیرون از خود من باشد، شایستۀ احترام نمی‌بیند.)
این دو نامه را به‌این‌دلیل ذکر کردم که گمان می‌کنم نمی‌توان نظر بزرگ‌ترین فیزیک‌دان زنده‌ای را که بیش از هرکسی برای استقرار افکار نو کوشیده است، نادیده گرفت. اینشتین نظر بسیاری از ما را، که عقیده داریم دلایل زیادی بر مکانیک کوانتومی وجود دارد، نمی‌پذیرد. بااین‌حال او «موفقیّت آغازین» آن را، و «میزان چشمگیری از حقیقت» را در آن می‌پذیرد. او به‌روشنی با این فکر موافق است که درحال‌حاضر چیزی بهتر از آن در اختیار نداریم، امّا امیدوار است که چنین چیزی بعداً محقّق شود، زیرا او «خدای طاس‌باز» را رد می‌کند. دربارۀ اقبال برگشت جبرگرایی پیشتر بحث کرده‌ام و آن را بسیار نامحتمل می‌یابم؛ و سعی کردم نشان دهم فیزیک کلاسیک درگیر مشکلات مفهومی مهیبی است و شاید ناگزیر باشد تصادف را در نظام خود بگنجاند. ما بینوایان، چنان‌که بخواهیم با نظام‌های اتمی کار کنیم، چاره‌ای جز بازی با طاس نداریم. اصل وجود جهانی واقعی، به قول اینشتین، بیشتر جنبۀ دانشگاهی دارد. ازسوی‌دیگر، جدل او دراین‌‌باره که نظریّۀ کوانتومی این اصل را کنار گذاشته، درصورتی‌که مفهوم واقعیت را درست درک کرده باشیم، توجیهی ندارد. دراین‌‌باره بازهم در اینجا خواهم گفت.
نامه‌های اینشتین این واقعیّت را به‌صورتی تاثیرگذار به ما می‌آموزد، که حتّی علم دقیقی چون فیزیک هم بر باورهای بنیادین استوار است. کلمه‌هایی مانند «عقیده دارم» بارها در سخن او تکرار می‌شود و گاهی هم برای تأکید زیر آن‌ها خط می‌کشد. بیش از این دربارۀ تفاوت میان اصول اینشتین وآن‌هایی که خود کوشیدم در اینجا از تاریخچۀ فیزیک تا به امروز استخراج کنم، بحث نخواهم کرد. امّا مایلم برخی از فرضیّات اساسی را گرد‌آوری کنم، که نمی‌توان آن‌ها را بیش از این محدود کرد، و باید ‌آن‌ها را چون واقعیّتی ازسر عقیده پذیرفت.
علیّت چنین اصلی است، اگر آن را چون عقیده به وجود وابستگی متقابل فیزیکی وضعیت‌های مشاهده‌شدنی تعریف کنیم. بااین‌حال همۀ ویژگی‌های این وابستگی به فضا و زمان (هم‌جواری، تقدم) و به‌دقّت بی‌پایان مشاهده (جبرگرایی) در نظرم اساسی نبوده، بلکه نتایج قوانین تجربی فعلی به شمار می‌آید.
اصل متافیزیکی دیگری در مفهوم احتمال گنجانده شده است. این اصل یعنی عقیده به این فکر که پیش‌بینی‌های محاسبات آماری چیزی بیش از تمرینی ذهنی است، و می‌توان به آن‌ها در دنیای واقع اعتماد کرد. چنین عقیده‌ای هم درمورد احتمال معمول درست است، هم برای آن ملغمۀ بیشتر پالایش‌شدۀ احتمالات و مکانیک که در نظریّۀ کوانتومی صورت‌بندی شده است.
دو مفهوم متافیزیکی علیّت و احتمالات، از موضوع‌های اصلی ماست. دیگر موضوع‌ها مانند منطق، علم حساب، فضا، و زمان کاملاً بیرون از چارچوب این درس‌هاست. امّا اجازه دهید چند نکتۀ دیگر اضافه کنم، که مکرّراً برایم پیش آمده است، هرچند یقین دارم فهرستم بازهم ناقص می‌ماند. یکی از این نکته‌ها یقین به هماهنگی در طبیعت است، که با علیّت متفاوت است، زیرا می‌توان آن را با کلماتی چون زیبایی، برازندگی، و سادگی بازنویسی کرد که دربارۀ برخی صورت‌بندی‌های قوانین طبیعی به‌کار رفته است. چنین عقیده‌ای اهمیّت زیادی در توسعۀ فیزیک نظری داشت – معادله‌های میدان الکترومغناطیسی ماکسول، یا نسبیّت اینشتین را به‌خاطر بیاورید – امّا تاچه‌حدّ این عقیده راهنمای حقیقی ما در جست‌و‌جوی ناشناخته‌ها بوده، یا در بیان ما از اینکه دل‌خوشی خود را از کشف رابطه‌ای مهم بیان کنیم، چیزی است که جسارت گفتن آن را ندارم؛ زیرا گاه برایم پیش آمده که کشف نظریّه‌ای که به‌نظرم بسیار دلپسند می‌آمده، امّا درعمل درست درنیامده بود، چقدر برایم اندوه به‌بار آورد؛ و بازهم درمورد سادگی باید بگویم که عقیده‌ها در بسیاری از موارد متفاوت است. آیا مثلاً قانون گرانش اینشتین ساده‌تر از قانون نیوتون است؟ پاسخ ریاضی‌دانان مجرّب آری است، که منظورشان سادگی منطقی مبانی آن است، درحالی‌که برخی دیگر به‌صراحت پاسخشان منفی است، زیرا پیچیدگی فرمالیسم آن را دهشتناک می‌یابند. پاسخ سؤال ما هرچه باشد، چنین عقیده‌ای شاید بتواند برای برخی افراد خصوصاً مستعد کمکی در پژوهش‌هایشان باشد؛ در درستی نتیجه، این کار اهمیّت کمتری دارد. ( ضمیمۀ 35).
سرانجام مایلم در اینجا از آن چیزی حرف بزنم که شاید بتوان آن را اصل عینیت نامید. این اصل معیاری برای تمیز تأثرات ذهنی از واقعیّت‌های عینی است، به‌عبارتی جایگزینی داده‌های حسّی با دیگر داده‌هایی است تا افراد دیگری بتوانند آن‌ها را بیازمایند. زمانی که دما را توضیح می‌دادم دربارۀ این روش صحبت کردم: احساس ذهنی گرما و سرما را با خواندن درجۀ دماسنج جایگزین کردم که هرکسی میتواند این کار را انجام دهد، بی‌آنکه احساس گرما یا سرما کند. این شاید مهم‌ترین قاعدۀ نظام‌نامۀ علم طبیعت باشد که نمونه‌های بی‌شماری از آن را می‌توان ارائه داد. به‌یقین چنین قاعده‌ای با مفهوم واقعیّت علمی ارتباطی نزدیک دارد؛ زیرا اگر واقعیّت را به‌معنای جمع ناورداهای مشاهده بدانیم – و به‌نظرم تفسیر منطقی دیگری از چنین کلمه‌ای در فیزیک وجود ندارد – حذف کیفیّت‌های حسّی گامی ضروری بر کشف آن‌هاست.
اکنون به درس‌های وین‌فلیت باز می‌گردم که استاد ا.د. آدریان دربارۀ «پس‌زمینه‌های فیزیکی ادراک» بر عهده داشت، زیرا به‌نظرم نتایج پژوهش‌های فیزیولوژیکی او به‌طور کامل با پیشنهادم در‌بارۀ معنای واقعیّت در فیزیک هم‌خوانی دارد. پیام‌هایی که مغز دریافت می‌کند، کمترین شباهتی با محرّک‌های آن‌ها ندارد. این پیام‌ها پالس‌هایی با شدّت معیّن و بسامدهایی است که مشخّصۀ رشتۀ عصبی است که آن‌ها را انتقال داده، به محلّ مشخّصی در پوستۀ مغز می‌رساند. همۀ چیزی که مغز «یاد می‌گیرد» (در اینجا از زبان ناپسند «چهرۀ ناآرام لولویی استفاده می‌کنم که در بالای نیم‌کرۀ مغز می‌نشیند») توزیع یا «نقشۀ» پالس‌هاست. مغز از این اطلاعات تصویر جهان را، با فرایندی، که می‌توان آن را به‌معنای استعاری کلمه قسمتی کامل از ریاضیات ترکیبی نامید، می‌سازد: مغز از مارپیچ علایم بی‌تمایز و متغیّر، اشکالی بی‌تغییر و روابطی می‌سازد که دنیای تجربۀ معمول ما را شکل می‌دهد.
این فرایند ناخودآگاه، در دنیای فوق‌تجربۀ علمی، که با ابزارهای درشت‌نمایی به دست می آید، فرو می‌ریزد. امّا پس از آن راه خود را در تمامیّت نور آگاهی از راه استدلال ریاضی ادامه می‌دهد. نتیجۀ آن واقعیّتی است که فیزیک نظری به ما می‌دهد.
گمان می‌کنم اصل عینیّت می‌تواند درمورد هر تجربۀ بشری اعمال شود، امّا غالباً نابجا. برای مثال: موسیقی «فوگ» باخ چیست؟ آیا این قطعه مقطعی غیرمتغیّر، یا محتوای معمولی مشترک همۀ نسخه‌های چاپی یا دست‌نوشته‌ها، صفحه‌های گرامافون، امواج صدا به‌هنگام نمایش و غیره از این موسیقی است؟ من که دوستدار موسیقی‌ام، می‌گویم خیر! «فوگ» چنین معنایی برای من ندارد. مفاهیم آن چیزی است ازقلمروی دیگر که در آن مفاهیم دیگری معنا پیدا می‌کند و جوهرۀ آن‌ها اصلاً «پنداشت» نبوده، بلکه تأثیر آنی زیبایی و عظمت آن بر روانم است.
درموردی مانند این، فکر واقعیّت عینی علمی، آشکارا نادرست، وتقریباً بیهوده است.
این چیزی پیش‌پاافتاده است، امّا اگر بخواهم به قول خودم بر گفت‌و‌گو در‌بارۀ گسترۀ فکر فیزیکی در مسائل فلسفی وفادار بمانم، باید به این بحث بپردازم، به‌ویژه مسئلۀ آزادی اراده. فیلسوفان از دیرباز نگران بودند چگونه می‌توانند آزادی اراده را با علیّت آشتی دهند. پس از موفقیّت عظیم نیوتون در وضع نظریّۀ جبرگرای طبیعت، این مسئله همچنان حادتر از قبل برجا ماند. درنتیجه، پیدایی نظریّۀ علّت‌ناگرای کوانتومی گشایشی بود تا از امکان خودمختاری ذهن بدون درگیری با قوانین طبیعت استقبال شود. آزادی اراده اصولاً پدیده‌ای ذهنی، و برداشتی از احساسی است که ما آن را می‌آزماییم، چیزی مانند تأثیر حسّی. مسلّم است که می‌توانیم، و چنین هم می‌کنیم، آن را به ذهن هم‌نوعان پیرامون خود القا کنیم، درست همان‌طوری‌که موسیقی عمل می‌کند. می‌توانیم آن را هم به سایر پدیده‌ها مرتبط کنیم تا به رابطه‌ای عینی تبدیل شود، درست همان‌طوری‌که اخلاق‌گرایان، جامعه‌شناسان، حقوق‌دانان انجام می‌دهند – امّا به‌همان‌صورت نیز شباهت آن به احساس اصیل بیش از شباهتی نیست که منحنی شدت در دیاگرام طیفی می‌تواند به رنگی داشته باشد که من آن را می‌بینم. پس از این دگرگونی به مفهومی اجتماعی، ارادۀ آزاد بیان نمادینی است از تشریح این واقعیّت که کنش‌ها و واکنش‌های بشر را ساختار ذهنی درونی آن‌ها تعیین می‌کند و به تمامی پیشینۀ بی‌حسابشان وابستگی دارد. حال چه به‌صورت نظری به دیدگاه جبرگرایی اکید معتقد باشیم، و چه نباشیم، از این نظریّه نمی‌توانیم استفاده کنیم، زیرا بشر موجودی بسیار پیچیده است و باید تنها به فرضی کارآمد، چون صرافت در تصمیم و مسئولیت در عمل رضایت دهیم. اگر حسّمان این باشد که با جبر‌گرایی در نزاعیم، حالا فلسفۀ تازۀ علّت‌ناگرای طبیعت را در اختیار داریم، و می‌توانیم نوعی از «آزادی» را بپذیریم، یعنی انحراف از قوانین جبرگرای، زیرا تنها این‌ها عیان است و به حدّ وسط باز می‌گردد. با این همه اگر به آزادی کامل اعتقاد دارید دوباره دچار مشکل خواهید شد، زیرا نمی‌توانید قوانین آمار را که قوانین طبیعت است نادیده بگیرید.
گمان می‌‌کنم پرداختن به مسئلۀ فلسفی آزادی اراده، عمدتاً (ضمیمۀ 36) ریشه در تمیز ناکافی میان وجه عینی و ذهنی دارد. جای شک نیست که حفظ این دو امر جدا از هم، احساسات چون آزادی اراده، از مورد رنگ‌ و صدا یا دما دشوار‌تر است. امّا کاربرد مفاهیم علمی در تجربه‌ای ذهنی، روشی معیوب در همۀ این موارد است.
شاید این را فرار از مسئله بدانید، که همۀ تجربه‌ها را دو بخش کنیم، به‌جای آنکه بکوشیم تصویری یک‌پارچه از جهان به‌دست آوریم. این تقسیمی است که من پیشنهاد می‌کنم و در چشمم ناگزیر می‌آید. اگر نظریّۀ کوانتومی اساساً اهمیّت فلسفی داشته باشد، اهمیّت آن در این واقعیّت است که علمی منفرد، روشن و معیّن این ضرورت را نشان می‌دهد تا وجوه دوگانه و مکمّلی آن را در نظر بگیریم. نیلس بور دربارۀ این مسئله، با نگاه به کاربردهای آن در فیزیولوژی و روان‌شناسی، و فلسفه به‌طور کلّی، به‌طور مبسوط بحث کرده است. بنا بر قاعدۀ عدم‌قطعیّت، نمی‌توان هم‌زمان مکان و سرعت ذرات را محاسبه کرد، و باید در اینجا دست به انتخاب زد. با وضعی مشابه روبه‌روییم اگر بخواهیم، برای مثال، فرایندهای فیزیکی-شیمیائی را در مغز معیّن کنیم، که به فرایندی ذهنی مرتبط است. چنین کاری را نمی‌توان انجام داد، زیرا به‌یقین تحقیق فیزیکی فرایند ذهنی را مختل می‌کند. شناخت کامل از وضعیّت فیزیکی تنها با کالبد‌شکافی امکان دارد، که آن هم به‌معنای مرگ عضو زنده یا خود موجود بوده و تخریب وضع روانی‌اش است. این مثال شاید به‌تنهایی کافی باشد؛ می‌توان مثال‌های ظریف‌تری را می‌توان در نوشته‌های بور یافت. این مثال‌ها یادآور محدودیّت‌های فهم انسان است و توجّه را به مسئلۀ تثبیت حدود مرزی می‌کشاند، آن‌طورکه فیزیک چنین کاری را در حوزۀ مضیق فیزیک با کشف ثابت کوانتومی ħ انجام داد. به‌این‌ترتیب می‌توان از جدل‌های بیهوده جلوگیری کرد. برای اینکه این نکته را با مثالی دیگر نشان دهم، مایلم در اینجا به این درس‌ها بازگردم که تنها به یک جنبه از علم، یعنی به جنبۀ نظری آن می‌پردازد. مکتبی پرتوان از دانشمندان برجسته وجود دارد که چنین چیزهایی را عبث و ازسر افاده می‌داند. به نظر آن‌ها کسانی که وقتشان را صرف آن بحث‌ها می‌کنند، به اطناب مملّ دست می‌زنند. علم بی‌تردید دو جنبه دارد: می‌توان به آن از جنبۀ اجتماعی همّت جمعی و عملی برای بهبود شرایط زندگی انسان نگریست، یا از دیدگاه فردی نگاه کرد، چون دنبال‌کردن خواسته‌های ذهن، عطش دانستن و درک، که همزاد هنر، فلسفه و دین است. به‌نظر می‌رسد هر دو جنبه درست، لازم و مکمّل یکدیگر است. کوشش جمعی علم عملی، سرانجام متشکّل از فردهاست و نمی‌تواند بدون دلبستگی شکوفا شود. امّا تعلّق خاطر کافی نیست؛ هیچ کار بزرگی نمی‌تواند بدون کنجکاوی فیلسوف در آغاز انجام شود. نیاز به توازن است. من راهی را انتخاب کرده‌ام که به نظرم می‌آید با روح این مکان کهن در کسب دانش به‌بهترین صورتی هماهنگ است.

فهرست راهنما

آ
آدریان 158
آمار 29, 65, 77, 105, 111, 144, 145, 150, 160
آنتروپی 55, 60, 61, 62, 73, 77, 82, 95, 96, 104, 145, 149, 153
آنتروپی و دما 56
آووگادرو 85

ا
اتلاف انرژی 145
اتم 29, 39, 65, 67, 85, 87, 88, 90, 102, 106, 108, 109, 111, 112, 113, 120, 129, 130, 133, 135, 150, 151
ابررسانایی 150, 151
اتر 29, 32, 35, 99, 100
اتم هیدروژن 113, 150
اتم‌گرایی 65
اثر فوتوالکتریک 106, 107
احتمال 17, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 76, 88, 89, 90, 91, 104, 109, 115, 120, 127, 128, 130, 131, 132, 133, 136, 137, 143, 144, 146, 157
احتمال توزیع 72
اختلال 69, 129, 138, 141
ارادۀ آزاد 160
ارنفست 80, 113
اسپین الکترون 114, 123
استفان 102
استقرا 17, 18, 24, 65
اصل تناظر 114
اصل طرد 114
اصل طرد پاؤلی 114
اصل کاراتئودوری 59, 60
افت‌وخیزها 140
الکترون 39, 41, 87, 106, 110, 111, 114, 118, 119, 120, 133, 134, 135, 145, 151
انبساط گرمایی 149
انتگرال برخورد 76, 80, 91, 96
انتگرال حرکت 128
انرژی آزاد 62, 82
انرژی پتانسیل 30, 82, 90, 124, 133
انرژی جنبشی 54, 70, 82, 106, 148, 150
انرژی نظام 53, 130
انرژی نوسانگر 103, 105, 106
اینشتین , v 27, 29, 40, 41, 42, 43, 44, 83, 85, 87, 100, 101, 104, 106, 107, 108, 109, 110, 115, 117, 118, 120, 129, 131, 144, 145, 149, 155, 156, 157

ب
بالمر 112, 114
برگشت‌پذیری 39, 79, 95, 96, 141
برگشت‌ناپذیری 29, 40, 75, 78, 80, 95, 96, 141
برنامۀ ارلانگر 134
برنولی 66
بسامد 87, 102, 103, 108, 115, 117, 118
بطلمیوس 21
بورiii, ii ,108, 111, 112, 113, 114, 135, 161
بورن , v, iii, ii, i 100, 162
بوز 108, 144, 145
بوسکوویچ 65
بوشنر 99
بولتزمن 74, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 91, 95, 102, 103, 104, 108, 145
بی‌دررو 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 113

پ
پایستگی انرژی 31, 153
پتانسیل 25, 26, 146
پخش 34, 99
پراش 35, 137, 138
پرتو ایکس 92, 110
پرتوزایی 110, 111, 130, 131
پریستلی 36
پلانک 101, 102, 104, 105, 106, 107, 108, 112, 115, 117, 129, 131, 144
پوانکاره 41, 79, 83

ت
تابش , vii 99, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 115, 117, 131, 144
تابع افراز 81, 82, 96
تابع توزیع 70, 74, 78, 92, 95, 124, 136
تابع موج 116, 127, 132
تانسور کرنش 34, 93
تداخل 35, 78, 137, 138
ترمودینامیک , vii 29, 34, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 55, 58, 61, 62, 63, 67, 73, 77, 82, 95, 96, 97, 141, 144, 152, 153
تصادف , vii, ii, i 11, 12, 13, 17, 30, 65, 66, 70, 88, 95, 99, 110, 119, 121, 124, 131, 133, 141, 154, 156, 162
تعادل آماری 68, 69, 74, 81, 88, 96, 142, 145, 149, 152
تعادل گرمایی 52
تقدّم , vii 22, 23, 27, 29, 30, 39, 40, 44, 47, 95, 99, 133, 154
تکانۀ زاویه‌ای 113, 143
توزیع بندادی 144, 145
توزیع سرعت 70, 89, 144

ث
ثابت پلانک 105
ثابت‌های حرکت 143, 144

ج
جابه‌جاگر 123
جبرگرایی , vii 13, 15, 19, 29, 44, 120, 131, 139, 140, 141, 156, 157, 160
جذب 32, 36, 108, 109, 112
جرم سکون 101
جرم لختی 26
جینس 102, 103, 107

چ
چاپمن 9, 77, 79
چاپمن و کاولینگ 77, 79
چسبندگی 75, 79, 93, 149, 150

ح
حرارت‌زا 47
حرکت براونی 83, 85, 86, 87, 97, 128

د
داروین 74
دکارت 22, 28
دماسنج 47, 52, 53, 158
دمای بحرانی 150
دمای مطلق 56, 60, 67, 73
دموکریت 65
دوبروی 117, 118, 119, 120
دیراک 81, 118, 119, 120, 123, 125, 145

ر
رابطۀ علّت و معلول 11, 66, 95
راسل 139
رایشن‌باخ 138
ریچی 42
ری‌لای 102, 103, 107, 118
ریمان 42

ز
زرملو 79, 83
زمان iii ,12, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 54, 55, 62, 65, 67, 68, 69, 70, 76, 78, 84, 85, 87, 88, 93, 95, 96, 99, 109, 111, 114, 115, 117, 119, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 143, 144, 145, 146, 147, 151, 155, 157

ژ
ژول 49, 53, 56
ژئودزیک 43

س
ستاره‌شناسی 21, 22, 30, 31
سرعت صوت 31, 62
سرعت فاز 35, 118
سرعت نور 38, 100, 118
سرعت واکنش 110
سطح انرژی 79, 84, 117
سودی 110

ش
شدّت 87, 120, 159
شرایط کوانتومی 113, 116
شرودینگر 116, 117, 118, 120

ص
صورت بندادی 82
طرد شقّ ثالث 138
طیف 103, 112

ع
عدم قطعیّت 139
علّت , ii, i 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 27, 28, 30, 40, 44, 47, 78, 88, 95, 99, 101, 119, 124, 131, 141, 162
علیّت , vii 15, 16, 18, 19, 20, 23, 25, 27, 29, 66, 96, 101, 131, 133, 154, 157, 160
عملگر 33, 35, 89, 90, 121, 122, 123, 125, 127, 130
عینیّت 159

ف
فارادی 36
فرانک 112
فرمول استیرلینگ 72, 74
فرمی 145
فرنکل 87
فرنل 35
فشار 29, 34, 36, 49, 50, 53, 54, 60, 62, 66, 67, 68, 73, 74, 81, 82, 83, 100, 149, 150, 151, 152, 153
فضای فاز 68, 69, 71, 76, 77, 79, 84, 95
فوتون 106, 108, 120, 135, 138, 144
فوریه 48, 114, 115
فیتزجرالد 41
فیزیک اتمی , ii 100, 102, 106, 114, 118, 154

ق
قانون افت‌وخیز 107
قانون بویل 67, 74, 81
قانون پارتیسیون برابر 102
قانون جابه‌جایی 119
قانون کولن 38, 111
قانون واپاشی 110
قانون هوک 34
قضیّۀ لیوویل 69, 79, 81, 91

ک
کاراتئودوری 55, 56, 57, 59
کاوندیش 36
کپلر 21, 24
کرنش 34, 50, 62, 99, 147
کروشۀ پواسون 68
کشش 29, 32, 37, 42
کلوین 55, 56, 65
کوانتوم 101, 102, 106, 107, 109, 117, 139
کوانتوم نوری 109
کوانتومی , viii 29, 108, 114, 115, 116, 129, 132, 136, 139, 140, 141, 144, 147, 149, 150, 151, 153, 154, 160, 161
کوپرنیک 21
کوشی 31, 34, 36, 40, 62, 78, 92, 147
کیهان‌شناسی 22

گ
گاز کامل 74
گالیله 22, 23, 24, 25, 27
گاودسمیت 114
گاوس 30, 65, 67
گرانش vii , 26, 28, 29, 36, 38, 40, 41, 43, 87, 158
گرلاخ 114
گرما 47, 48, 51, 53, 55, 56, 62, 75, 79, 84, 145, 147, 152, 158
گرماسنج 47
گرمای ویژه 47, 62, 149, 150, 151, 153
گرین , v88, 91, 130, 147, 154
گسیل 100, 108, 109
گودل 139
گیبس 79, 81, 82, 83, 87, 88, 144

ل
لاپلاس 30, 35, 44
لاگرانژ 30
لورنتس 41, 107
لوشمیت 79

م
ماتریس 33, 115, 116, 119, 126, 127, 130, 132, 136, 147, 148
ماده , viii, vii 12, 32, 42, 43, 63, 65, 69, 83, 88, 99, 101, 102, 110, 135, 141, 147, 154
ماکسول 37, 38, 39, 40, 70, 71, 74, 77, 78, 81, 83, 100, 144, 157
مایر 49, 83
مشتق هم‌رفت 33
معادله‌های ماکسول 37, 39, 41, 48
معادله‌های میدان 37, 39, 41, 43, 132, 157
معادله‌های هیدروترمال 147, 151, 152
معادلۀ حالت 52, 92
معادلۀ فافی 57, 58
معادلۀ موج 35, 120, 132
مقیاس دما 52, 67
مکانیک آماری , vii 69, 74, 79, 81, 83, 84, 85, 87, 95, 97, 102, 103, 104
مکانیک کوانتومی , vii 31, 97, 101, 109, 113, 116, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 143, 144, 145, 152, 156
مکانیک ماتریسی 117, 119
موج احتمال 136
میدان مغناطیسی 38, 39, 114
ن
نسبیّت , vii 26, 27, 29, 40, 42, 99, 101, 117, 118, 157
نظام تناوبی عناصر 114
نظریّۀ احتمالات 11
نظریّۀ کوانتومی 101, 108, 110, 112, 117, 125, 128, 129, 135, 139, 141, 147, 149, 155, 156, 157, 161
نظریّۀ موجی نور 106
نوسانگر 107, 113, 149
نیروهای تماس 34, 35, 36, 38, 99
نیروهای سطح 142
نیروهای کولنی 37
نیوتون 13, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 41, 43, 106, 158, 160

و
وابستگی 16, 17, 18, 19, 27, 30, 33, 101, 102, 126, 147, 157, 160
واپاشی پرتوزا 110, 130
واسطه‌های پیوسته , vii 29, 32, 34, 50, 62, 93
وبر 38
ویژه‌تابع 127, 128, 132
ویژه‌مقدار 121, 122

ویلسون 113
وین 102, 103, 105

ه
هایزنبرگ , ii113, 116, 119, 123
هرتس 38, 112
هسته 111, 133
هلیوم 149, 150, 151, 154
هم‌جواری 19, 20, 22, 24, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 39, 40, 44, 99, 133, 154, 157
همیلتون 30, 31, 68, 70, 80, 119, 133
همیلتونی 80, 88, 102, 116, 123, 124, 129, 132, 133, 142, 148
هوفمن 43
هیدروترمال 152
هیلبرت 77, 139

ی
یانگ 35

English- Persian Glossary
واژهنامۀ انگلیسی به فارسی
:: A ::
Absolute temperature دمای مطلق
Absorption جذب
Accessibility دسترسی
Ackermann آکرمن
Adiabatic بیدررو
Adrian, A. D. آدریان، ا. د.
Advanced potential پتانسیل پیشرفته
Angular momentum تکانۀ زاویهای
Antecedence تقدّم
Astronomy ستارهشناسی
Atom اتم
Atomic physics فیزیک اتمی
Atomistics اتمگرایی
Avogadro’s number عدد آووگادرو

:: B ::
Balmer بالمر
Bernoulli, D برنولی، د.
Binary encounters برخوردهای دوتایی

Boer, de بوئر، دو
Bohr بور
Bohr, J بور، ج.
Bohr, HH بور، ه.ه.
Boltzmann بولتزمن
Boltzmann’s constant ثابت بولتزمن
__ equation معادلۀ بولتزمن
_ H-Theorem قضیّۀ اچ بولتزمن
Born بورن
Boscovich بوسکوویچ
Bose بوز
Bose-Einstein Statistics آمار بوز-اینشتین
Boyle’s-Charles Law
Boyle’s Law قانون بویل
Broglie, de دوبروی
Brownian motion حرکت براونی
Bucherer بوخرر
Buchner بوشنر

:: C ::
Caloric حرارتزا
Calorimeter گرماسنج
Canonical distribution توزیع بندادی
__ form صورت بندادی
Carathéodory کاراتئودوری
Caratheodory’s principle اصل کاراتئودوری
Casimir, H. B. G کازیمیر، ه. ب. ج.
Cassirer, E کاسیرر، ا.
Cauchy کوشی
Cauchy’s equation معادلۀ کوشی
__ theorem قضیّۀ کوشی
Causality علیّت
Cause علّت
Cause-effect relation رابطۀ علّت و معلول
Cavendish کاوندیش
Chance تصادف
Chapman چاپمن
__ and Cowling چاپمن و کاولینگ
Charge بار، شارژ
Chemical equilibrium تعادل شیمیایی
Cheng, Kai Chia چنگ، کای چیا
Clausius کلاوسیوس
Collision cross-section سطح مقطع برخورد
__ integral اانتگرال برخورد
Colloids کلوییدها
Commutation law قانون جابهجایی
Commutator جابهجا گر
Conduction of heat رسانش گرمایی
Conservation of energy پایستگی انرژی
__ of mass پایستگی جرم
__ of momentum پایستگی تکانه
Constants of motion ثابت های حرکت
Contact forces نیروهای تماس
Contiguity همجواری
Continuity equation معادلۀ همجواری
Continuous media واسطه های پیوسته
Convective derivative مشتق همرفت
Copernicus کوپرنیک
Corpuscular theory of light نظریّۀ ذرّه ای نور
Correspondence principle اصل تناظر
Cosmology کیهانشناسی
Coulomb forces نیروهای کولنی
Coulomb’s law قانون کولن
Cowling, see Chapman. کاولینگ، بنگرید به چاپمن
Critical temperature دمای بحرانی
Curvature of space انحنای فضا

:: D ::
Darwin داروین
Debye دیبای
Decay, law of قانون واپاشی
Degeneration of gases انحطاط گازها
__ temperature دمای انحطاط
Democritus دموکریت
Density شدّت
__ function تابع شدّت
__ matrix (or operator) ماتریس شدت (یا عملگر)
Dependence وابستگی
Descartes دکارت
Determinism جبرگرایی
Dewar vessel ظرف دوار
Diffraction پراش
Diffusion پخش
Dirac دیراک
Dirac’s function تابع دیراک
Displacement current جریان جابجایی
Distribution function تابع توزیع
__ law of Bose-Einstein قانون توزیع بوز-اینشتین
__ of Maxwell-Boltzmann قانون ماکسول-بولتزمن

:: E ::
Eckhart اکهارت
Economy of thinking صرفهجویی در فکر
Eddington ادینگتون
Ehrenfest ارنفست
Eigenfunction ویژهتابع
Eigenvalue ویژهمقدار
Einstein اینشتین
Einstein’s law قانون اینشتین
Electromagnetic field میدان الکترومغناطیسی
__ wave موج الکترومغناطیسی
Electron الکترون
__ spin اسپین الکترون
Emission گسیل
Energy and mass انرژی و جرم
__ and relativity انرژی و نسبیّت
__ , density of شدّت انرژی
__ , dissipation of اتلاف انرژی
__ in perturbation method انرژی به روش اختلال
__ levels سطح انرژی
__ of atom انرژی اتم
__ of oscillator انرژی نوسانگر
__ of system انرژی نظام
__ surface انرژی سطح
Enskog انسکوگ
Entropy and probability آنتروپی و احتمال
__ and temperature آنتروپی و دما
__ , change of تغییر آنتروپی
__ , definition تعریف آنتروپی
__ , establishment or برقرای آنتروپی
__ from Caratheodory’s theory آنتروپی بر اساس نظریّۀ کاراتئودری
__ in chemical equilibria آنتروپی در تعادل شیمیایی
__ of atom آنتروپی اتم
Equations of motion معادلۀ حرکت
__ of state معادلۀ حالت
Equipartition law قانون پارتیسیون برابر
Erlanger Programm برنامۀ ارلانگر
Ether اتر
Euler’s theorem قضیّۀ اویلر
Excluded middle طرد شقّ ثالث
Exclusion principle اصل طرد

:: F ::
Faraday فارادی
Fermi فرمی
Fermi-Dirac statistiics آمار فرمی-دیراک
Field equations معادله های میدان
__ of force میدان نیرو
__ vector بردار میدان
FitzGerald فیتزجرالد
Fluctuation law قانون افتوخیز
Fluctuations افتوخیزها
Fock, V. A فوک، و. ا.
Fourier فوریه
Fowler, R. H فاولر، ر. ه
Franck فرانک
Free energy انرژی آزاد
__ will ارادۀ آزاد
Frenkel فرنکل
Frequency بسامد
Fresnel فرنل
Fuchs, K فوکس، ک
Functional equation of quantum statistics معادلۀ تابعی آمار کوانتومی

:: G ::
Galileo گالیله
Gamma-function تابع گاما
Gas constant ثابت گاز
Gauss گاوس
Gauss theorem قضیّۀ گاوس
Geodesic ژئودزیک
Gerlach گرلاخ
Gibbs گیبس
Gödel گودل
Goudsmit گاودسمیت
Gravitation گرانش
Green, H. S گرین، ه.س
Groot,de گروت، دو

:: H ::
Hamilton همیلتون
Hamiltonian as matrix ماتریس همیلتونی
__ as operator عملگر همیلتونی
__ definition of تعریف ماتریس همیلتونی
__ in equations of motion معادله های حرکت همیلتونی
__ in perturbation method روش اختلال همیلتونی
__ in statistical mechanics همیلتونی در مکانیک اماری
__ of a particle همیلتونی ذره
__ of oscillator همیلتونی نوسانگر
Heat گرما
Heisenberg هایزنبرگ
Helium هلیوم
Helmholtz هلم هولتس
Hermitian operator عملگر هرمیتی
Hertz,G., and Franck,J هرتس، ج. و فرانک، ج.
Hertz, H هرتس، ه.
Hilbert هیلبرت
Hoffmann هوفمن
Hooke’s law قانون هوک
Huygens هویگنس
Hydrogen atom اتم هیدروژن
Hydrothermal equations معادلههای هیدروترمال

:: I ::
Ideal gas گاز کامل
Indeterminacy عدمقطعیّت
Induction استقرا
lnfeld, L اینفلد، ل.
Initial state حالت آغازین
Integral of motion انتگرال حرکت
__ operator x انتگرال عملگر
Integrating denominator مقسوم علیه انتگرال پذیر
lnterference تداخل
Irreversibility برگشت ناپذیری

:: J ::
Jeans جینس
Jordan, P یوردان، پ.
Joule ژول

:: K ::
Kahn, B کان، ب.
Kelvin کلوین
Kepler کپلر
Kepler’s laws قوانین کپلر
Kinetic energy انرژی جنبشی
__ of gases انرژی جنبشی گازها
__ , quantum انرژی جنبشی کوانتوم
Kirkwood کرک وود
Klein, F کلاین، ف.
Kohlrausch کلراوش

:: L ::
Lagrange لاگرانژ
Lagrangian factor عامل لاگرانژی
__ point نقطۀ لاگرانژی
Landau لانداؤ
Laplace لاپلاس
__ differential operator عملگر دیفرانسیل لاگرانژی
Laue, M. v.
Light quantum کوانتوم نوری
Liouville’s theorem قضیّۀ لیوویل
Logic, three-valued منطق سه ارزشی
London, F لندن، ف.
Lorentz لورنتس
__ force نیروی لورنتس
Lorentz transformation تبدیل لورنتس
Loschmidt لوشمیت

:: M ::
Mach, E ماخ، ا.
MacMillan مکمیلان
Magnetic field میدان مغناطیسی
Margenau, H مارژنو، ه
Mass, gravitational جرم گرانشی
__ , inertial جرم لختی
Matrix ماتریس
__ mechanics مکانیک ماتریسی
Matter ماده
Maxwell ماکسول
Maxwell’s equations معادله های ماکسول
__ functional aquation معادلۀ تابعی ماکسول
__ tension کشش ماکسولی
Mayer, J مایر، ج.
Mayer, R مایر، ر.
Mendelssohn مندلسون
Method of ignorance روش بیاطلاعی
Michelson and Morley experiment آزمایش مایکلسون و مورلی
Minkowski مینکوسکی
Molecular chaos درهمریختگی مولکولی
Moll مل
Momentum تکانه، گشتاور
Multinomial theorem قضیّۀ چندجملهای
Murphy, G. M مورفی، ج. م.

:: N ::
Neumann, J. v نویمان
Neutrino نوترینو
Neutron نوترون
Newton نیوتون
Non-commuting quantities کمیّتهای غیرجابهجایی
Non-Euclidean geometry هندسۀ غیراقلیدسی
Non-linear transformation تبدیل غیرخطّی
Nucleon نوکلئون
Nucleus هسته
Number density چگالی عدی

:: O ::
Objectivity عینیّت
Observational invariant ناوردای مشاهده
Oersted ارستد
Operator عملگر
Ornstein اورنشتاین
Oscillator نوسانگر

:: P ::
Partition function تابع افراز
Pauli پاؤلی
Pauli’s exclusion principle اصل طرد پاؤلی
Periodic system of elements نظام تناوبی عناصر
Perturbation اختلال
Pfaffian equation معادلۀ فافی
Phase rule قاعدۀ فاز
__ space فضای فاز
__ velocity سرعت فاز
Photo-electric effect اثر فوتوالکتریک
Photon فوتون
Planck پلانک
Planck’s constant ثابت پلانک
Poincaré پوانکاره
Poisson bracket کروشۀ پواسون
Poisson’s equation معادلۀ پواسون
Potential پتانسیل
__ energy انرژی پتانسیل
Pressure فشار
__ tensor تانسور فشار
Priestley پریستلی
Probability احتمال
__ and determinism احتمال و جبرگرایی
__ and entropy احتمال و آنتروپی
__ and irreversibility احتمال و برگشتناپذیری
__ coefficient ضریب احتمال
__ function تابع احتمال
__ of distribution احتمال توزیع
__ of energy احتمال انرژی
__ , theory of نظریّۀ احتمالات
__ wave موج احتمال
Proton پروتون
Ptolemy بطلمیوس

:: Q ::
Quantum کوانتوم
__ conditions شرایط کوانتومی
__ mechanics مکانیک کوانتومی
__ number عدد کوانتومی
__ theory نظریّۀ کوانتومی
Quasi-periodicity شبهتناوبی

:: R ::
Radial distribution function تابع توزیع رادیال
Radiation تابش
__ density شدّت تابش
Radioactive decay واپاشی پرتوزا
Radioactivity پرتوزایی
Rayleigh ریلای
Reaction velocity سرعت واکنش
Reality واقعیّت، حقیقت
Reichenbach رایشنباخ
Relativity نسبیّت
Rest-mass جرم سکون
Retarded potential پتانسیل تأخیری
Reversibility برگشتپذیری
Ricci ریچی
Riemann ریمان
Ritz ریتس
Rotator چرخاننده
Russell راسل
Rutherford رادرفورد

:: S ::
Schrödinger شرودینگر
Self, energy خودانرژی
Semi-permeable walls دیوارههای نیمهنفوذپذیر
Soddy سودی
Sommerfeld زومرفلد
Specific heat گرمای ویژه
Spectrum طیف
Statistical equilibrium تعادل آماری
__ mechanics مکانیک آماری
__ operator (or matrix) عملگر (ماتریس) آماری
Statistics آمار
Steepest descent سراشیبی تند
Stefan استفان
Stirling’s formula فرمول استیرلینگ
Strain کرنش
__ tensor تانسور کرنش
Supra-conductivity ابررسانایی
Surface forces نیروهای سطح

:: T ::
Temperature, absolute دمای مطلق
__ and Brownian motion دما و حرکت براونی
__ , critical دمای بحرانی
_ degeneration دمای تباهی
__ function تابع دما
__ scale مقیاس دما
Tension کشش
Thermal energy انرژی گرمایی
__ equilibrium تعادل گرمایی
Thermal expansion انبساط گرمایی
Thermodynamics ترمودینامیک
__ first law of قانون اول حرارت
__ , Second law of قانون دوم حرارت
Thermometer دماسنج
Time زمان
__ , flow of شار زمان
Transition probability احتمال گذار
Tycho Brahe تیکوبراهه

:: U ::
Uhlenbeck اولنبک
Uncertainty principle اصل عدمقطعیّت
Ursell اورسل

:: V ::
Van der Waals فان در والس
Vector field میدان بردار
Velocity distribution توزیع سرعت
__ of light سرعت نور
__ of sound سرعت صوت
Viscosity چسبندگی

:: W ::
Wave equation معادلۀ موج
__ function تابع موج
__ theory of light نظریّۀ موچی نور
Weber وبر
Wien وین
Wiener, N. وینر، ن.
Wilson ویلسون

:: X ::
X-rays پرتو ایکس

:: Y ::
Young یانگ

:: Z ::
Zermelo زرملو

ماکس بورن
فلسفۀ طبیعی علّت و تصادف
ضمیمه (نسخۀ انگلیسی) 

https://drive.google.com/file/d/1Xd9GeFY6_mXVxIRRHiYP36i48BJrAtsR/view?usp=sharing